Teorema Fundamental del Cálculo

[pepetiros]

Muy buenas, tengo la siguiente duda que no logro resolver:

Sea F la función definida mediante la expresión F(x)=\int_{0}^{1+x^2} \frac{sen(t)}{t}dt. Calcular F'(x)en los puntos donde sea posible.

Muchas gracias por vuestra atención.

[Carlos]

F(x)= \int_{0}^{1+x^2} \frac{sen(t)}{t}dt

Entonces

F'(x)= \frac{d(1+x^2)}{dx} \frac{sen(1+ x^2)}{1+ x^2} -
\frac{d(0)}{dx} \frac{sen(0)}{0}= 2x \frac{sen(1+ x^2)}{1+ x^2} - \frac{d(0)}{dx} 1=2x \frac{sen(1+ x^2)}{1+ x^2}

[Gato Cuántico]

Carlos, según el libro de tablas del Schawn:

F(x)= \int_{0}^{1+x^2} \frac{sen(t)}{t}dt=1+x^{2}-\frac{\left(1+x^{2}\right)^{3}}{3\cdot3!}+\frac{\l eft(1+x^{2}\right)^{5}}{5\cdot5!}-...

No he hecho la derivada pero me da la impresión de que no hay senos de por medio... aunque tal vez me equivoque. :(

[MiGUi]

Son dos formas distintas de hacer lo mismo, verás:

\sen{t} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n t^{2n + 1}}{(2n + 1)!}

Dividiendo por t

\frac{\sen{t}}{t} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n t^{2n}}{(2n + 1)!}

Integrando a ambos lados (el seno es uniformemente convergente):

\int_{0}^{1 + x^2} \frac{\sen{t}}{t} dt = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n }{(2n + 1)!} \int_{0}^{1 + x^2} t^{2n} dt = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n }{(2n + 1)!} \left[\frac{t^{2n + 1}}{2n + 1} \left]_{0}^{1 + x^2}

Sustituyendo,

\int_{0}^{1 + x^2} \frac{\sen{t}}{t} dt = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n (1 + x^2)^{2n + 1}}{(2n + 1)(2n + 1)!}

Si ahora derivo respecto de x (nuevamente, la serie es uniformemente convergente).


\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n + 1)(2n + 1)!} \frac{d(1 + x^2)^{2n + 1}}{dx} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!} 2x (1 + x^2)^{2n}


= \frac{2x}{1 + x^2} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!} (1 + x^2)^{2n + 1} = 2x\frac{\sen{1 + x^2}}{1 + x^2} _\square

Que es lo que ha obtenido Carlos.

(La convergencia uniforme es lo que permite intercambiar la derivada y la integral con el sumatorio)

Saludos :hola:

[omashi]

El seno si está, para verlo, es mejor hacer un cambio de variable: y=1+x^2
Luego:
\frac{d}{dy}\int_{0}^{y} \frac{sen(t)}{t}dt=\frac{d}{dy}\left(y-\frac{y^3}{3\cdot3!}+\frac{y^5}{5\cdot5!}-...\right)\Rightarrow

\frac{sen(y)}{y}=1-\frac{y^2}{3!}+\frac{y^4}{5!}-...=\frac{1}{y}\left(y-\frac{y^3}{3!}+\frac{y^5}{5!}-...\right)=\frac{1}{y}seny

:h:

[omashi]

Se me adelantó Miguel... :lol:

[Gato Cuántico]

Gracias por la aclaración :r:

[MiGUi]

Se me adelantó Miguel... :lol:

El escritor más rápido de este lado de internet :saltito: :saltito: :saltito: :saltito:

[Cyrock]

Tengo los teoremas de calculo bastante oxidados...

¿Como puedes derivar una integral? Porque la integral desaparece en los calculos de carlos. Yo me habría welto loco para integrar y despues derivar...algo altamente improductivo...sobretodo por el mero hecho de ser operaciones opuestas xDDDDDD. Pero es que al tener limites la integral tengo la sensación de que tengo que integrarla...

[Benchu]

Tengo los teoremas de calculo bastante oxidados...

¿Como puedes derivar una integral? Porque la integral desaparece en los calculos de carlos. Yo me habría welto loco para integrar y despues derivar...algo altamente improductivo...sobretodo por el mero hecho de ser operaciones opuestas xDDDDDD. Pero es que al tener limites la integral tengo la sensación de que tengo que integrarla...

Si la integral fuera indefinida al derivarla el resultado seria el integrando, osea la función que intentas integrar.
Pero en el caso de una integral definida por funciones (de variable diferente a la de la función a integrar) no puedes eliminar el signo integral así por las buenas; debes utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo, ese que dice :

\int_{a}^{b} {F'(t)}dt={F(b)}-{F(a)}

solo que en el caso que estamos tratando a y b son funciones de x y al derivar la integral tendras que derivar todo el segundo miembro de la igualdad de arriba. (aplicando la regla de la cadena).

[omashi]

El teorema fundamental del calculo asegura ke si una función g es continua en un intervalo ]a,b[ , la función:
G(x)=\int_{k}^{x}g(t)dt~~~~~~ con~ x, k_{(constante)} \in ]a,b[
es derivable en ]a,b[ y su derivada satisface:

\frac{d}{dx} G(x)=g(x)

Saludos!

[Carlos]

De forma mas general:

G(x)=\int_{f(x)}^{h(x)}g(t)dt~~~~~~ con~ f(x), h(x) \in ]a,b[
es derivable en ]a,b[ y su derivada satisface:

\frac{dG(h(x))}{dh} \frac{dh(x)}{dx}- \frac{dG(f(x))}{df} \frac{df(x)}{dx}=g(h(x)) \frac{dh(x)}{dx} - g(f(x)) \frac{df(x)}{dx}

Salu2