Cilindrada

[Luisfer]

Hay por ahí un porblemilla que no soy capaz de hacer; a ver si vosotros me podeis ayudar. Consigo hacer un dibujo de qué tengo que integrar, pero no se cómo sacar una función...

El problema es este.

Te piden hallar el volumen del sólido limitado por los cilindros x^2+z^2=a^2 y y^2+z^2=a^2.

Agradezco cualquier tipo de ayuda.

Gracias y saludos

[herodoto]

Tenemos dos cilindros de radio a. Uno centrado en el eje X y otro en el eje Y. Para simplificar un poco el problema, tomaré solo la parte del semieje Z positivo. Dado que el problema es simétrico respecto al plano XY, luego solo necesitaré multiplicar el resultado por dos.

Calculo en primer lugar la interseción de ambos cilindros:

x^2+z^2=a^2\Rightarrow z^2=a^2-x^2
y^2+z^2=a^2\Rightarrow z^2=a^2-y^2

a^2-x^2=a^2-y^2\Rightarrow x^2=y^2\Rightarrow x=\pm y

O sea, las dos rectas x=y y x=-y.

Estas rectas dividen al plano XY en 4 partes. En cada una de ellas será mayor el valor Z de uno de los cilindros. Así, en la parte que corresponde a los semiejes X positivo y negativo, es mayor la cota del cilindro cuyo eje es el eje X. Al contrario, en la parte correspondiente a los semiejes Y positivo y negativo, es mayor la cota del cilindro cuyo eje es el eje Y.
Observamos ahora que tenemos nuesta figura repetida en 4 partes iguales, con perfecta simetría alrededor del eje Z. Podemos pues tomar solo una de ellas y luego multiplicar el resultado por 4.

Tomamos por ejemplo la parte que corresponde al semieje X positivo. Aquí el cilindro centrado en el eje X tiene mayor cota. Dado que nos piden la interseción, ha de ser precisamente la otra cota, la del cilindro correspondiente al eje Y y cuya ecuación recordamos es z^2=a^2-x^2, la que nos interesa.

Solo nos queda entonces calcular el volumen de ese cilintro en nuestro area, que será la limitada por las siguientes rectas:

x=y
x=-y
x=a

y en ese area calculamos la integral de volumen de

z=\sqrt{a^2-x^2}

Creo que con esto ya debería ser facil resolver el problema (y no olvidemos luego multiplicar el resultado por 8 )

[Luisfer]

Muchas gracias :D

Yo también me puse a hallar los puntos de corte, pero al encontrar dos rectas me sonó muy raro y lo dejé.

Saludos!

[Luisfer]

Sólo una cosilla más...¿el dominio sería un cuadrado no?

Saludos

[herodoto]

NOOO, las 3 rectas que te he dado forman un triángulo rectángulo. Otra cosa es que, al unir los 4 triángulos, te resultará un cuadrado de lado 2a

[hectopascal]

La intersección de los dos clindros en el plano XY en el primer cuadrante da como resultado un cuadrado de lados x=sqrt(a^2-z^2) e y=sqrt(a^2-z^2). Su área será a^2-z^2 . Integrando desde z=0 a z=a tenemos el volumen de un octante que será (2a^3)/3 y por simetría, multiplicando por 8 se obtiene el volumen total común a los dos cilindros V=(16a^3)/3

Saludos.