Números reales

[Ronin]

Qué métodos conoceis de construcción de los números reales, y cuál es el más apropiado para una buena descripción algebraica de sus propiedades?

Si conoceis el método de las cortaduras de Dedekind, sabeis como definir la suma y producyo de números reales a partir de esa construcción?


Graicas

Saludos

[leach]

Supongo que la cosa depende de gustos. Personalmente, la aproximación que más me gusta es considerar a \mathbb{R} como un cuerpo, completo y ordenado. El ser un cuerpo ordenado es la parte algebraica, y el ser completo es la parte topológica (aunque se puede formular con el axioma del supremo, en base a la relación de orden). Este método de definición me parece el más limpio, y es el que toman alguno librotes clásicos, como el Rudin de Análisis Matemático, y creo que también el Apostol y el Spivak (el Spivak creo que usa la formulación equivalente del axioma de continuidad). El axioma del supremo es muy cómodo, y deja en claro las hipótesis que haces para construir los reales. Además, equivale a las cortaduras de Dedekind.

Mirando por ahí, la introducción típica a los axiomas de \mathbb{R} se encuentra en: http://euler.us.es/~renato/clases/eam2002-3/node19.html . El axioma del supremo es sustituido en este caso por el axioma de continuidad, que es equivalente al primero. Creo que a muchos autores norteamericanos les gusta la formulación en base al axioma de continuidad.

Respecto a la suma de cortaduras. Si entendemos por cortadura un par de conjuntos S_1, S_2\subset \mathbb{Q}, disjuntos, no vacíos, tales que S_1\cup S_2 = \mathbb{Q}, y tal que todos los elementos de S_1 son menores que los de S_2, y siendo vacío el máximo de S_1 en \mathbb{Q}.

En estas condiciones, cada cortadura determina un único número real no racional. Sean entonces S_1^\alpha, S_2^\alpha y S_1^\beta, S_2^\beta, dos cortaduras distintas, que representan a los números reales \alpha, \beta. Si definimos la suma de dos conjuntos de racionales como la suma de sus elementos dos a dos, resulta que S_1^\alpha+S_1^\beta, S_2^\alpha+S_2^\beta es una cortadura. Esto es fácil de comprobar a partir de los axiomas de cuerpo ordenado para \mathbb{Q}. Entonces, si defines \alpha +\beta como el número real asociado a la anterior cortadura, tienes que la definición es coherente con una estructura de grupo abeliano para \mathbb{R}.

Definiendo el producto de números reales como el producto de las cortaduras (elementos dos a dos), construyes una multiplicación en \mathbb{R} que le da estructura de cuerpo. En base a estas definiciones, deberías poder comprobar todos los axiomas de \mathbb{R} con facilidad.

[Ronin]

Buenas, muchas gracias por mostrarme el camino para definir las operaciones algebraicas a partir del método de las cortaduras de Dedekind, por lo general se usan los otros métodos que comentas para comenzar el estudio de los números reales en la mayoría de textos. Simplemente era la curiosidad de saber como dar el paso de la construcción de los reales mediante conjuntos ordenados a sus propiedades algebraicas.

Gracias