Induccion

[insomnio]

Buenas,

Pues tengo una duda con la dichosa induccion(acabara conmigo), os planteo mi solucion y a ver si podeis sacarme de dnd me he encallado

El enunciado es:

1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 +...+ 1/n*(n+1)=n/n+1

Entonces para n=1, es trivial y no lo pongo

Ahora el caso en q n=n+1, aunque tb se podria utilizar n=n-1 no?¿

Pues bien yo tengo q ver q A=B,

Para encontrar A sustituyo n+1 en 1/n(n+1) que da: 1/(n+1)((n+1)+1), lo q pasa q luego no se si sumarle n/n+1, si se tiene q sumar quedaría:
n/(n+1) + 1/((n+1)((n+1)+1), si es este el valor de 'A' me podeis decir pq se le tiene q sumar n/n+1?¿

Para encontrar B por otro lado si sustituyo en n/(n+1) obtengo que (n+1)/ ((n+1)+1)

Por lo que la solucion seria A=B, pero claro ahora q tengo q hacer?¿

GRACIAS

[herodoto]

Sabemos que se cumple la fórmula:

\sum_1^n\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}

He empleado n como término general y como limite del sumatorio. Espero que esto no lleve a confusión

Debemos comprobar si esa misma relación se cumple para n=1, esto es:

\sum_1^{n+1}\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n+1}{n+2}

Veámoslo:

\sum_1^{n+1}\frac{1}{n(n+1)}=\sum_1^{n}\frac{1}{n( n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=

=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+2)+1 }{(n+1)(n+2)}=

=\frac{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{(n+1)^2}{(n+1)( n+2)}=\frac{n+1}{n+2}

Como queríamos demostrar :D

[insomnio]

Y como yo lo hacia iba mal?¿, pq no lo acabo de entender tu razonamiento...., ya q no "pillo" como desarrollas, lo siento soy torpe... :x

[herodoto]

A ver, es que soy un poco nuevo con esto del \LaTeX, voy a tratar de explicarme mejor.

Esta claro que la formula

\sum_1^n\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}

se cumple para n=1. Ahora debemos demostrar que si se cumple para un valor n, ello implica que se ha de cumplir para un valor n+1.

o sea:

\sum_1^n\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}\Rightarrow\ sum_1^{n+1}\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n+1}{n+2}

Por lo tanto suponemos que se cumple la primera:

\sum_1^n\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}

Y ahora debemos calcular el valor de

\sum_1^{n+1}\frac{1}{n(n+1)}


Veámoslo:

\sum_1^{n+1}\frac{1}{n(n+1)}=\sum_1^{n}\frac{1}{n( n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}
Aquí solo hemos separado el último término (el término (n+1)) del primer sumatorio

\sum_1^{n}\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\f rac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}
Aquí hemos aplicado que nuestra relación se cumple para n (la suposición de inducción)

\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+2)+1} {(n+1)(n+2)}=

=\frac{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{(n+1)^2}{(n+1)( n+2)}=\frac{n+1}{n+2}

Y aquí solo hemos aplicado el álgebra, suma de quebrados y desarrollo de potencias. Espero que ahora lo veas más claro

[Carlos]

Hola,

Al margen del enfoque por induccion, el problema es muy facild e resolver si se tiene en cuenta que:

\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}

Salu2