Producto 3 vectores

[Quanto]

Hola,

Quería que me indicaseis si esto es cierto: el producto escalar de 3 vectores da un vector. El producto vectorial de 3 vectores da un vector ¿es así?

salu2

[leach]

Dicho brevemente, la primera afirmación es falsa y la segunda verdadera.

1) La primera es falsa porque el producto escalar asocia a dos vectores un cierto escalar. Luego el producto escalar no actúa sobre tríos de vectores, si no sobre parejas, y no da un vector, si no un escalar.

2) La segunda es cierta. El producto vectorial de dos vectores es un vector. Así que puedes aplicar el resultado del primer producto al tercer vector, y obtener lo que puedes llamar el producto vectorial de los tres. Sin embargo, una advertencia: el producto vectorial no es asociativo. Así que puedes tener problemas para definir qué es el producto vectorial de un trío de vectores, porque el resultado depende del orden de las operaciones:

\left(\vec{u}\times \vec{v}\right)\times\vec{w} \quad \ne \quad \vec{u}\times\left(\vec{v}\times \vec{w}\right)\, ,

por norma general. Es fácil encontrar ejemplos. Por ejemplo, para los vectores coordenados e_1,e_2,e_3, y la orientación usual, tenemos:


\begin{array}{ccccc}
(e_1\times e_2)\times e_2 & = & e_3\times e_2 & = & -e_1\, . \\
e_1\times (e_2\times e_2) & = & e_1\times \vec{0} & = & \vec{0}\, .
\end{array}