PDA

Ver la versión completa : Desigualdad (Pre-Cálculo)



Sebastian
16/12/2006, 06:38
Saludos. Estaba repasando unos temas sobre inecuaciones, y me encontré con la siguiente:

\frac{x+1}{2-x}<\frac{x}{3+x}

Ahora, me parece que no tiene solucion en \mathbb{R}, pero no estoy seguro de qué es lo que tengo que dar como respuesta si es que me preguntan cuál es el valor de x. Supongo que debería ser simple, pero no estoy del todo seguro. Agradezco cualquier pista.

aminhuk
16/12/2006, 08:41
:h: , haber si esto funciona (eso si el sueño no me hace desvariar :meparto: ):
\frac{x+1}{2-x}<\frac{x}{3+x}

\frac{-(2-x)+3}{2-x}<\frac{(3+x)-3}{3+x}

-1+\frac{3}{2-x}<1-\frac{3}{x+3}

3 ( \frac{1}{2-x} + \frac{1}{3+x}) < 2

\frac{5}{6-x-x^2}<\frac{2}{3}

\frac{1}{6-x-x^2}<\frac{1}{7.5}

De esto que 6-x-x^2>7.5 o 6-x-x^2<0, la desigualdad 6-x-x^2>7.5 es imposible que se cubra, dado que no hay soluciones para 6-x-x^2=7.5 (si nos ponemos quisquillosos podemos probar 6-x-x^2<7.5 con la desigualdad x^2<x para |x|>1) y para la segunda, dado que las soluciones de 6-x-x^2=0 son -3 y 2, es facil verificar que los valores de x que cumplen con 6-x-x^2<0 son (-\infty,-3) U (2,\infty).

:h:

Edito: La desigualdad 6-x-x^2<0 se puede probar de la siguiente manera:
6-x-x^2<0
(x+3)(2-x)<0, cuando x \rightarrow -\infty x+3es negativo mientras que 2-x es positivo, al ser funciones lineales tenemos la certeza de que tendran el mismo "signo" (positivo o negativo) hasta no tomar una x que sea raiz de alguna funcion, la primer x que es raiz es -3, por lo que de -3 hasta \infty x+3 es positivo, de esto que 6-x-x^2 sera mayor a cero hasta la x raiz de 2-x, esto es en 2, por lo que de aqui en adelante x+3>0 y 2-x<0 y como consecuencia 6-x-x^2<0.

tuzania
16/12/2006, 11:27
Aminhuk, te me adelanteste!! :nnnn: .... :meparto: ... pero como ya tenia parte escrita, pues la pongo. En fin más vale que sobre y no que falte :lol:



La desigualdad se indetermina para x=2 y x=-3, así que esos valores se descartan como solución.

\frac{x+1}{2-x}<\frac{x}{3+x}

Multiplicamos por los deniminadores, nos queda:

1)(x+1)(3+x)<x(2-x)

Sólo si los denominadores son mayores a cero. Osea: 2-x>0\to 2>x y 3+x>0\to x>-3, es decir, para -3<x<2.

Eliminando parentesis:
x^2+4x+3<2x-x^2

f(x)=2x^2-2x+3<0

Veamos el discrimintante: \sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{4-4(2)(3)}=\sqrt{-20}.

Demosle un valor a f(x): f(0)=+3, y como la función no se intersecta con el eje x, siempre es positiva.

Con esto, y las indeterminaciones, podemos concluir que no hay solución en el intervalo: [-3, 2]

2) Si cualquiera de los dos denominadores es menor a cero:

(x+1)(3+x)>x(2-x)

Cuando: 2-x<0\to x>2 o 3+x<0\to x<-3. Osea: cuando x\in (-\infty, -3)\cup(2,\infty) Como dice el buen aminhuk :wink:

x^2+4x+3>2x-x^2

2x^2-2x+3>0

Como concluimos anteriormente f(x)>0 para todos los reales, entonces, esa última desigualdad es cierta para todos los reales.

Con todo lo anterior, podemos colcluir entonces que sólo el intervalo (-\infty, -3)\cup(2,\infty) es solución de la desigualdad.

:h:

Sebastian
16/12/2006, 19:08
Gracias a ambos por sus respuestas. Ahora lo tengo muy claro!