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Cae un chorro de agua libremente, como varía la presión del agua?? Longitunalmente no cambia, pero ¿y hacia dentro del chorro?
Pues bueno, según la ecuación de Bernoulli (conservación de la energía), si el régimen del fluido es estacionario (como en este caso podemos considerar) la energía se conserva en cada linea de corriente, de tal manera que:
\frac{P}{\gamma}+z+\frac{v^2}{2g}=cte
Si ademas el fluido es irrotacional (no se producen remolinos) podemos considerar que la ecuación de Bernoulli no sólo se cumple para cada línea de corriente sino para toda la masa fluída (chorro en este caso)
Si es un chorro como tu dices, pensaremos que el régimen es estacionario e irrotacional.
También se deberá cumplir la ecuación de continuidad, que en este caso particular puede definirse como: "El caudal permanece constante", por tanto:
Q=v*S
Cuando el chorro cae por gravedad va aumentando su velocidad y por tanto disminuye su sección, estrechandose el chorro hasta que se "parte" este en gotas.
En cuanto a la variación de presión, pues el chorro se encuentra a presion atmosferica, y segun la ecuación de Bernoulli, la cual se cumple en todo el seno de chorro, la componente cinetica {v^2}/{2g} ira aumentando a medida que disminuye la componente de altura z, pero la presión será en todo caso la presión atmosférica tanto en el exterior del chorro como en el centro del mismo.
Siel fluido fuera rotacional, entonces la ecuacion de Bernoulli sólo es aplicable a cada linea de corriente por separado, por lo que la energía variará según cada hilo fluído, de manera que la presión en el interior podría ser diferente (habitualmente mayor, debido a una caida de la velocidad en el interior) de la exterior al chorro.
Saludos.
Saludos
De donde deduces de Bernoulli que la presión es invariante si nos adentramos al seno del fluido? Yo me estoy comiendo la cabeza con cosas como que la capa de fuera está en contacto con la atmósfera, por lo que igual se ralentiza la capa exterior...pero dentró no...nose, divago. Sk como dices, en un flujo rotacional, la velocidad exterior es superior y la presión inferior...no se puede aplicar una analogía en cierto modo aquí??? ¿Las gotas internas no caerán un poco más rápido??
Yo pienso que si el fluido no es irrotacional, las lineas de fluido exteriores tienen mayor velocidad que las de dentro ya que el agua circula mejor en contacto con aire que con otras particulas de agua rozandoles.
Imagina un simil:
Vas en una carrera de maraton con un "chorro" de tios corriendo. Quienes podrán correr con mayor facilidad, los que estan en la periferia (contacto con atmosfera) o los que están en el centro del pelotón? Yo creo que los de fuera tienen menos impedimentos, es mejor "rozar" con el aire que no con un tio del pelotón.
No obstante, a lo mejor tu estabas pensando en lo que ocurre en una tubería. En ese caso las lineas de corriente proximas a la pared de la tubería tienen menos velocidad, siendo nula justo en la pared de la tubería. En este caso las lineas de flujo de dentro si que tienen mayor velocidad que las periféricas, ya que es mejor "rozar" con otras lineas de flujo que con la pared de la tuberia, no?
En fin así lo veo yo, pero vamos que me gustaría que la gente experta nos diera su opinión.
Saludos.
Es como un efecto Venturi pero al revés, no?
Yo pienso que si el fluido no es irrotacional, las lineas de fluido exteriores tienen mayor velocidad que las de dentro ya que el agua circula mejor en contacto con aire que con otras particulas de agua rozandoles.
Discrepo, las moleculas de fluido internas tambien estan cayendo, por lo tanto las que estan sujetas a friccion viscosa son solamente las externas...y la friccion es solamente con el aire.
asi que en principio las lineas de corriente exteriores, serian las que tendrian menor velocidad.
Esto produce un pequeñisimo gradiente de velocidad dentro del chorro, lo cual genera un campo de esfuerzos de caracter viscoso-cortante, los que en definitiva hacen que el campo de presiones dentro del fluido varie en forma muy leve.
Se entendió?
Tambien hay que considerar los efectos de tension superficial. Supongo que la presion es distinta entre las moleculas que estan en la superficie de la vena y las que estan dentro. sin embargo este es un problema mas bien estatico.
Hola Maor, la clave esta en la palabra "irrotacional". Si esto no se cumple, las lineas de flujo circulan de na manera desordenada de manera que no hay una corriente que vaya al "unisono". Esto hace que haya algunas lineas de corriente que cambien su velocidad siguiendo trayectorias looping o remolinos, lo cual genera una frenada de la velocidad global del chorro. En este caso las lineas de corriente privilegiadas son las externas que no sufren tanto el efecto del rotacional. Por lo que su velocidad si cabe, será mayor.
Lo que tu dices, es valido cuando las lineas de corriente son paralelas, lo que ocurre es que si esto sucede, indirectamente se cumple que al ser el regimen laminar, el rotacional se anula, de manera que la corriente fluida pasa a estar conectada, y como no hay paredes (tuberia) las lineas externas estan a presion atmosferica, al igual que las internas, las cuales no pueden ser presionadas más que las externas. Al cumplirse la ecuacion de Bernoulli en toda la masa fluida, directamente llegamos a que la velocidad es la misma en toda las lineas de corriente. La distribucion de velocidades en este caso sería plana
Saludos.
El problema de estos casos está en que depende de que nivel de exactitud queramos... Suponiendo régimen laminar, creo que lo más correcto son los argumentos de Koko, porque creo que la viscosidad es capaz de mantener la distribución de velocidades, pues su efecto es muy superior al rozamiento con el aire. Aun así, cualitativamente el gradiente del que habla Maor parece ser correcto, aunque cuantitativamente es despreciable.
El tema está en que tengo que responder si es uniforme o no lo es...rollo test. No creo q un industrialito como yo tenga que tener en cuenta lo que dice Maor :)
Que una corriente sea uniforme significa que la velocidad en un hilo de corriente se mantiene a lo largo de este. Esto puede ocurrir en una tuberia de seccion constante, pero en el caso de un chorro a presion atmosferica, como te comente anteriormente, el fluido cuando pierde cota, gana velocidad, por lo que las lineas de corriente que al principio del chorro estaban mas separadas (menos velocidad), se van juntando a medida que el chorro pierde cota (aumento de velocidad), cumpliendose tambien la ec. continuidad (si aumenta la velocidad, disminuye la sección para que el caudal sea el mismo). Y la seccion del chorro al final será tan pequeña que se rompera el chorro en gotas.
Por tanto la respuesta es que en un chorro a presion atmosferica, el flujo es no uniforme, ya que la velocidad varia de unos puntos a otros de las lineas de corriene.
Saludos.
Aclarar por tanto Cyrock, que uniforme no significa que todos los puntos de una sección de fluido tengan la misma velocidad, sino que cada linea de corriente tenga la misma velocidad al principio y al final de su recorrido.
DeepBlue
17/04/2005, 17:35
Cae un chorro de agua libremente, como varía la presión del agua?? Longitunalmente no cambia, pero ¿y hacia dentro del chorro?
El tema está en que tengo que responder si es uniforme o no lo es...rollo test.
Para un chorro de agua que cae libremente, la velocidad transversal al chorro es mucho menor que la longitudinal (la llamaré w, que viene de \vec{v} =(u,v,w) ), de manera que puede suponerse que el movimiento es prácticamente unidireccional ( u=v=0 ), convirtiéndose la ecuación de continuidad en \partial _{z}w=0 , siendo entonces w=w(r,t) . Suponiendo simetría de revolución, particularizando entonces en las ecuaciones de Navier-Stokes, las ecuaciones de movimiento según z y r resultan ser (a falta de las pertinentes condiciones de contorno)
\rho \frac{\partial w}{\partial t}=-\frac{\partial p}{\partial z}-\rho g+\frac{\mu }{r}\frac{\partial }{\partial r}\left( r\frac{\partial w}{\partial r}\right)
0=-\frac{\partial p}{\partial r}
así que esta última (cantidad de movimiento según r) indica directamente que la presión transversal no varía a lo ancho del chorro, que parece que es lo que se te preguntaba en el test.
Si los efectos viscosos los supones despreciables (el término con \mu) y el chorro además es estacionario (el termino temporal es despreciable) se obtiene la famosa expresión de Bernouilli para este caso concreto. Entonces resulta
0=-\frac{\partial (p+\rho gz)}{\partial z}
y lo que no varía longitudinalmente es la llamada presión motriz (P=p+\rho gz ), pero la presión estática que es p (la normal, vamos) sí que varía acorde con z.
DeepBlue
17/04/2005, 18:21
Hola Maor, la clave esta en la palabra "irrotacional". Si esto no se cumple, las lineas de flujo circulan de na manera desordenada de manera que no hay una corriente que vaya al "unisono". Esto hace que haya algunas lineas de corriente que cambien su velocidad siguiendo trayectorias looping o remolinos
Un movimiento no irrotacional no necesariamente tiene que ser turbulento. Si el chorro del que hablamos es estacionario y los términos viscosos fuesen dominantes (es decir, claramente laminar, no turbulento), el perfil de velocidades de la solución sería función de r (u=v=0,w=w(r)), lo cual no es irrotacional (sólo unidireccional).
Hola DeepBlue, creo que en tu razonamiento fallan algunas cosas:
Partimos de la ecuación de Navier-Stokes para un fluido incompresible y no viscoso:
\frac{d\vec{v}}{dt}=-\frac{\nabla p}{\rho}+\vec{g}=\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+\vec{v}\nabla \vec{v}
Y no como tu escribes:
\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}=-\frac{\nabla p}{\rho}+\vec{g}
La aceleración local que tu escribes no es igual a eso que pones.
Por otra parte:
\vec{v}\nabla \vec{v}=\frac{\nabla v^2}{2}-\vec{v}\times rot \vec{v}
De ambas ecuaciones de llega a que:
\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}=-\frac{\nabla p}{\rho}-\frac{\nabla v^2}{2}+\vec{v}\times rot \vec{v}+\vec{g}
Esta ecuacion dice que la aceleracion local es generada por las fuerzas de presión, de la gravedad, del gradiente de velocidades, y de rotación.
Esta ecuación la podemos reordenar y agrupar por gradientes:
\nabla(\frac{p}{\rho}+\frac{v^2}{2}+gz)=-\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+\vec{v}\times rot \vec{v}
Esta es la ecuación generalizada de Bernoulli
En el caso de flujo estacionario, e irrotacional, se nos van los términos de la derecha de la ecuación, quedando:
\nabla(\frac{p}{\rho}+\frac{v^2}{2}+gz)=0
\frac{p}{\rho}+\frac{v^2}{2}+gz=cte
Tu razonamiento erróneo al principio, en mi opinión, lleva a que la ecuación de Bernoulli que deduces carece de término de energía por velocidad:
0=-\frac{\partial (p+\rho gz)}{\partial z}
Esa invariante de energia que obtienes, es sólo una parte de la de Bernoulli, la cual efectivamente como dices se llama presión motriz o altura piezométrica, la cual tu dices que en el caso del chorro de agua, es constante.
Yo digo que no, ya que según la ecuación de Bernoulli que yo pongo:
\frac{p}{\rho}+\frac{v^2}{2}+gz=cte
La presión es constante e igual a la atmosférica para las líneas de corriente exteriores del chorro. Y como dijimos que el fluido es estacionario e irrotacional, todas las líneas de corriente están conectadas y tienen la misma presión, es decir, la atmosférica. Por tanto lo que ocurre es que el término de energía por cota gz, va disminuyendo a medida que el chorro cae, pero sin embargo aumenta el término cinético \frac{v^2}{2}, para que la energía total se mantenga constante.
Por tanto lo que tu dices de que la presión motriz no varía es falso. Si p es constante y z disminuye, \frac{p}{\rho}+gz no puede ser constante.
En cambio tu decías que p variaba y la presión motriz se mantenía. Creo que eso es inconsistente.
En mi opinión, todo parte de que tu tomaste la aceleración local en la ecuación de Navier-Stokes y deberías gaber tomado la total.
Saludos. Espero vuestras críticas :h:
DeepBlue
17/04/2005, 19:17
Ya aparte, dentro del asunto de las condiciones de contorno que se me ha olvidado comentar antes por simetría de revolución \mu \partial _{r}w(r=0)=0 , pero la condición de contorno clave es la de la entrefase agua-aire. Por cuestiones de equilibrio, el esfuerzo viscoso ha de ser el mismo a ambos lados de la entrefase y como la viscosidad dinámica del aire es mucho menor que la del agua esto es equivalente a decir que el esfuerzo viscoso tangencial en el agua justo en la superficie de separación tiene que ser nulo (o lo que es lo mismo \mu \partial _{r}w(r=R)=0 ). He despreciado el efecto de la tensión superficial porque supongo que las curvaturas principales en dicha superficie son, una nula por ser aproximadamente la generatriz de un cilindro y la otra (del círculo del chorro) no lo suficientemente pequeña como que la tensión superficial cuente (el radio tendría que ser R\sim \sqrt{\sigma /\rho g} que para el agua en el aire vale unos pocos milímetros, pero si el chorro es así de delgado, habría que replantear algunas hipótesis).
Así que en resumen la solución se obtiene añadiendo las condiciones \partial _{r}w=0 en el eje y la superficie. Otra cosa que pueda pasar (y creo que es lo más habitual en la vida cotidiana) es que los efectos viscosos sean despreciables a lo ancho del chorro excepto en una delgada capa en contacto con el aire (pues de lo contrario no se podrían imponer todas las condiciones de contorno espaciales si se desprecia el término viscoso, que posee las derivadas de orden mayor). Este problema se soluciona sacando una solución para el núcleo del chorro y empalmándola con la solución local en la superficie (capa límite) que verifica su condición de contorno.
Y la seccion del chorro al final será tan pequeña que se rompera el chorro en gotas.
En efecto, el chorro se hace paulatinamente más delgado, pero esa la causa por la que se rompe en gotas contiene algunos matices más. A medida que cae, el diámetro del chorro al cuadrado es inversamente proporcional a la velocidad que lleva (por razones de continuidad) de manera que el número de Reynolds ( Re=w\cdot D/\nu ) crece longitudinalmente como \sqrt{w} de manera que a partir de un cierto valor de transición, el chorro se hace turbulento (si no lo era ya), lo que favorece que afloren perturbaciones en la entrefase líquido-aire. El crecimiento de estas perturbaciones está controlado por lo que se llama inestabilidad de Kelvin-Helmholtz (debida a diferencias de velocidad líquido-gas), de manera que sólo aquellas longitudes de onda tales que
k>\frac{(\rho ^{2}_{2}-\rho ^{2}_{1})g}{\rho _{1}\rho _{2}(U_{2}-U_{1})^{2}}
se vuelven inestables (esta expresión es para un problema plano, pero no diferirá mucho). La formación de estas ondas se entremezcla con otro tipo de inestabilidad (Rayleigh-Taylor, que involucra un fluido de mayor densidad sobre uno de menor) lo que permite una redistribución de la presión al variar la sección en una longitud de onda suficiente para vencer a la tensión superficial y romperse así en gotas.
Por ejemplo, todo esto es la clave de la atomización en gotas de la tinta en las impresoras de chorro, de las estructuras que se forman en las explosiones de las supernovas, etc...
Saludos :h:
En cuanto a lo de que rotacional no indica turbulencia, es cierto lo que dices. Ha sido un lapsus. No obstante mis argumentos siguen siendo los mismos que te he expuesto.
Saludos.
DeepBlue
17/04/2005, 19:41
Cuando he escrito la parrafada anterior aún no había leído tu correción :doh:.
Partimos de la ecuación de Navier-Stokes para un fluido incompresible y no viscoso:
\frac{d\vec{v}}{dt}=-\frac{\nabla p}{\rho}+\vec{g}=\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+\vec{v}\nabla \vec{v}
En efecto, completamente de acuerdo :oops: me he comido al escribir que es una derivada sustancial :doh: , pero es sólo una errata; de ahí sale Bernouilli como has demostrado tú más en detalle si asumes que los efectos viscosos son despreciables excepto en las proximidades de la entrefase. No tengo nada que objetar a aplicar Bernouilli, mi única intención sólo era matizar dónde es "legal" aplicarla.
Antes me han bailado cosas con las prisas (si es que los domingos por la tarde no tenía que entrar aquí... :s: ), a ver si ahora aclaro mi postura, añadiendo lo que me había dejado:
0=-\frac{\partial (p+\frac{v^2}{2}+\rho gz)}{\partial z}
y como dije que p no variaba con r (y además en el aire p no varía con z), entonces necesariamente v ha de variar con z (y la presión se queda uniforme como habíamos quedado, ok).
En última línea también me ha bailado el apellido motriz y algo más, pido todas las disculpas que hagan falta :oops: (esto de no releer un poco las cosas antes de darle a 'enviar'... :wink:) .
En cuanto a lo de que rotacional no indica turbulencia, es cierto lo que dices. Ha sido un lapsus. Creo que ahora ya estamos de acuerdo en todo, :birra: y además empatados a lapsus.
Muchas gracias por tus observaciones. Saludos :h:
Ok, DeepBlue, supuse que habia sido un despiste, ya que el razonamiento despues de lo de la aceleracion local, ha sido bueno. Es mas sin ese error, tu habrias llegado a lo mismo que yo.
Saludos compañero. :wink:
P.D: Cyrock, has podido ya contestar el test?, espero que con la pechada de divagar de DeepBlue y mía hayamos contribuído en algo, porque si no nos pegamos un tiro, jajaja. :h:
ahg!!! Os he pedido café y me habeis dao 2 tazas...jeje. Gracias a los 2 y aver si me pongo y comprendo los desarrollos :).
tnx
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