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Ver la versión completa : Mi tontiteoría. 1ª parte.



Nexus 7
21/02/2006, 13:59
Hola.

Quiero "celebrar" mi mensaje número 666 con un tema que espero que resulte realmente diabólico: Tratar la parte de las matemáticas con las que no estoy de acuerdo.

Mi tontiteoría consta de 5 puntos, que espero que puedan ser tratados en como mucho tres temas diferentes (no tengo ninguna esperanza que mi tontiteoría pueda ser tratada en un único tema)
1º Un contraejemplo de la demostración de Cantor "la diagonal mía".
2º Otra forma de escribir números. (Los números conjuntos)
3º Una enumeración de los números reales.
4º Demostración "intervalos encajados" en el conjunto \mathbb{Q}
5º Enumeración del conjunto de las listas ordenadas infinitas incluídas en \mathbb{N}


Formato de cada uno de los temas:
Cada tema está expuesto de dos formas diferentes. Primero una explicación desde el punto de vista de la lógica, y luego desde el más extricto argot matemático.
En la parte de la lógica expondré el porqué de ese punto, y cuando lo requiera (puntos 1, 4 y 5) intentaré explicar donde está el fallo lógico de la demostración cantoriana que hace que dicha demostración sea una falacia. (falacia = falsa implicación en la lógica matemática)


Objetivo de mi tontiteoría:
a.- Demostrar que surgen incoherencias cuando equiparamos un conjunto numerable con un conjunto enumerable. Enumeración (listar los elementos) y numeración (asignar números o contar los elementos de un conjunto) son conceptos diferentes y una cualidad no implica la otra cuando tratamos conjuntos infinitos.
b.- Demostrar que ningún conjunto infinito es enumerable. Ni siquiera \mathbb{N}
c.- Demostrar que emplear biyectivas para clasificar los diferentes conjuntos no finitos NO es una razón matemática porque no es una razón objetiva (no se puede demostrar tal cosa) sino que es una cuestión extrictamente subjetiva sin ningún argumento matemático.

Y a nivel metamatemático (si consiguiera convencer a alguno de vosotros) que el lenguaje matemático ideado por Peano da lugar a errores conceptuales porque no diferencia los conceptos de cantidad y cualidad.

Y a nivel de la lógica matemática (si consiguiera convencer a alguno de vosotros) que en conjuntos infinitos el concepto "cualquier" y "todos" tienen implicaciones diferentes a las implicaciones que tienen cuando tratamos conjuntos finitos. {Que podamos hacer una enumeración que llegue hasta cualquier natural, no implica que hayamos enumerado TODOS los naturales}


Advertencias:
a.- Debido a las diferencias que este tema me ha causado con ciertos usuarios de otros foros con anterioridad a la elaboración de esta tontiteoría, no entraré en ninguna cuestión personal: Ni me creo por encima de Cantor y sus discípulos (yo sé donde estoy y no me importa si ellos fueron más listos o más tontos) ni pretendo pasar a la Historia (creo ser lo suficientemente humilde como para no aspirar a tal cosa). Simplemente estoy convencido de la certeza de mis objeciones y me apena el freno que sufren actualmente las matemáticas por culpa de un planteamiento erróneo. Responderé cualquier off-topic que se os ocurra a este respecto siempre y cuando sea en otro tema diferente.
b.- Me gustaría muchísimo tratar con vosotros ciertas cuestiones filosóficas que se desprenden de este tema, pero por cuestiones obvias (determinar quien tiene la razón filosófica dependerá de si aceptamos o no aceptamos previamente la teoría de conjuntos) no responderé en este tema ninguna cuestión filosófica. No obstante, y si alguno de vosotros así lo creo oportuno, responderé cualquier cuestión filosófica a este respecto siempre y cuando sea en otro tema diferente.


Rigurosidad matemática:
a.- Soy autodidacta y apenas estudié de joven, eso conlleva que aunque tenga las ideas muy claras, tengo ciertos problemas a la hora de "escribir" matemáticas. Al igual que una falta de ortografía no invalida un razonamiento escrito, espero que si cometo alguna falta "ortográfica" eso no signifique para ninguno de vosotros que todo mi razonamiento matemático está equivocado y el argumento ya no vale para nada aunque se corrija dicha falta "ortográfica".
b.- Para evitar malentendidos por posibles faltas "ortográficas" por mi parte, siempre que yo haga una definición por comprensión matemática la acompañaré de una definición por comprensión lingüística o de una definición matemática por extensión. Estaría muy agradecido si me indicais cualquier error o cualquier abuso de notación para corregirlo y evitar volver a cometerlo más adelante.
c.- Como uno de los objetivos es precisamente diferenciar entre cantidad y cualidad, deberemos tener en cuenta que infinito NO es un número (no es el límite de ninguna sucesión convergente) y por lo tanto NO es una cantidad.
d.- Aunque a partir de hoy algunos de vosotros pueda considerarme un "hereje", todos mis argumentos están dentro de la más extricta ortodoxia. Seguiré a rajatabla todos los axiomas (especialmente los axiomas de Peano)
e.- Como consecuencia de lo anterior, n siempre será un número natural por mucho que empleemos la función "siguiente de un natural". Esto es, por mucho que n tienda a infinito, n siempre es un número natural y nunca se "desnaturaliza" convirtiéndose en una cosa rara que no es ningún número.

Saludos.

Nexus 7
21/02/2006, 14:06
UN CONTRAEJEMPLO A LA DIAGONAL DE CANTOR.

Explicación lógica:

Supongamos que queremos vender muñecas de juguete y con el atractivo de que todas son diferentes, pero no lo hacemos de forma planificada sino que vamos improvisándolas una a una.

Si tenemos tres elementos diferenciadores (cabeza, piernas y brazos) y ya hemos construído tres muñecas, para construír una cuarta muñeca diferente es suficiente con alterar un elemento de cada una de las anteriores.

Así pues, si hemos construído algo así como esto:
\textcolor{red}{Juguete A} \quad {Cabeza A} \quad {Brazos A} \quad {PiernasA} \\
\textcolor{red}{Juguete B} \quad {Cabeza B} \quad {Brazos B} \quad {PiernasB} \\
\textcolor{red}{Juguete C} \quad {Cabeza C} \quad {Brazos C} \quad {PiernasC}

Podemos alterar un elemento diferenciador de cada uno de los juguetes y estaremos seguros de que el nuevo juguete será diferente a todos los anteriores. Así pues, si alteramos los elementos que ahora aparecen marcados con azul ...

\textcolor{red}{Juguete A} \quad \textcolor{blue}{Cabeza A} \quad {Brazos A} \quad {PiernasA} \\
\textcolor{red}{Juguete B} \quad {Cabeza B} \quad \textcolor{blue}{Brazos B} \quad {PiernasB} \\
\textcolor{red}{Juguete C} \quad {Cabeza C} \quad {Brazos C} \quad \textcolor{blue}{PiernasC}
Tendremos un juguete que difiere de A en la cabeza, difiere de B en los brazos y difiere de C en las piernas. Y por lo tanto estaremos seguros que es un juguete nuevo y diferente a todos los anteriores.


Supongo que hasta aquí, todos estaremos de acuerdo que es correcto el razonamiento que empleó Cantor. Ahora bien ... ¿Qué pasaría si la cantidad de elementos diferenciadores es diferente de la cantidad de juguetes que ya hemos construído? Puede ocurrir que la cantidad de elementos diferenciadores sea mayor que la cantidad de juguetes, o puede ocurrir que sea menor.


Si la cantidad de elementos diferenciadores fuera mayor que la cantidad de juguetes:
Supongamos 6 elementos diferenciadores y 4 juguetes construídos.
\textcolor{red}{Juguete1} \quad {Cabeza1} \quad {Brazos1} \quad {Piernas1} \quad {Manos1} \quad {Zapatos1} \quad {Ropa1} \\
\textcolor{red}{Juguete2} \quad {Cabeza2} \quad {Brazos2} \quad {Piernas2} \quad {Manos2} \quad {Zapatos2} \quad {Ropa2} \\
\textcolor{red}{Juguete3} \quad {Cabeza3} \quad {Brazos3} \quad {Piernas3} \quad {Manos3} \quad {Zapatos3} \quad {Ropa3} \\
\textcolor{red}{Juguete4} \quad {Cabeza4} \quad {Brazos4} \quad {Piernas4} \quad {Manos4} \quad {Zapatos4} \quad {Ropa4}

Podemos trazar la diagonal
\textcolor{red}{Juguete1} \quad \textcolor{blue}{Cabeza1} \quad {Brazos1} \quad {Piernas1} \quad {Manos1} \quad {Zapatos1} \quad {Ropa1} \\
\textcolor{red}{Juguete2} \quad {Cabeza2} \quad \textcolor{blue}{Brazos2} \quad {Piernas2} \quad {Manos2} \quad {Zapatos2} \quad {Ropa2} \\
\textcolor{red}{Juguete3} \quad {Cabeza3} \quad {Brazos3} \quad \textcolor{blue}{Piernas3} \quad {Manos3} \quad {Zapatos3} \quad {Ropa3} \\
\textcolor{red}{Juguete4} \quad {Cabeza4} \quad {Brazos4} \quad {Piernas4} \quad \textcolor{blue}{Manos4} \quad {Zapatos4} \quad {Ropa4}
Y sabremos que podemos construir juguete5 alterando los elementos azules sin necesidad de entrar a valorar el color de los zapatos o de la ropa.


Si la cantidad de elementos diferenciadores fuera menor que la cantidad de juguetes:
Supongamos 4 elementos diferenciadores y 6 juguetes construídos.
\textcolor{red}{Juguete1} \quad {Cabeza1} \quad {Brazos1} \quad {Piernas1} \quad {Manos1} \\
\textcolor{red}{Juguete2} \quad {Cabeza2} \quad {Brazos2} \quad {Piernas2} \quad {Manos2} \\
\textcolor{red}{Juguete3} \quad {Cabeza3} \quad {Brazos3} \quad {Piernas3} \quad {Manos3} \\
\textcolor{red}{Juguete4} \quad {Cabeza4} \quad {Brazos4} \quad {Piernas4} \quad {Manos4} \\
\textcolor{red}{Juguete5} \quad {Cabeza5} \quad {Brazos5} \quad {Piernas5} \quad {Manos5} \\
\textcolor{red}{Juguete6} \quad {Cabeza6} \quad {Brazos6} \quad {Piernas6} \quad {Manos6}

Ahora la diagonal será algo inútil
\textcolor{red}{Juguete1} \quad \textcolor{blue}{Cabeza1} \quad {Brazos1} \quad {Piernas1} \quad {Manos1} \\
\textcolor{red}{Juguete2} \quad {Cabeza2} \quad \textcolor{blue}{Brazos2} \quad {Piernas2} \quad {Manos2} \\
\textcolor{red}{Juguete3} \quad {Cabeza3} \quad {Brazos3} \quad \textcolor{blue}{Piernas3} \quad {Manos3} \\
\textcolor{red}{Juguete4} \quad {Cabeza4} \quad {Brazos4} \quad {Piernas4} \quad \textcolor{blue}{Manos4} \\
\textcolor{red}{Juguete5} \quad {Cabeza5} \quad {Brazos5} \quad {Piernas5} \quad {Manos5} \\
\textcolor{red}{Juguete6} \quad {Cabeza6} \quad {Brazos6} \quad {Piernas6} \quad {Manos6}

Y el método de la diagonal es completamente inútil porque ESTA diagonal que hemos trazado NO PASA por todos y cada uno de los juguetes. Si contruímos juguete7 empleando el método de la diagonalización, NO estaremos seguros de que juguete7 sea diferente de juguete5 y de juguete6.

Decir que el nuevo juguete que construyamos (juguete7) es diferente a todos los anteriores porque hemos empleado la diagonalización ... es un razonamiento falaz.

Para que este método de la diagonalización implique que el nuevo juguete será diferente a los anteriores requiere la condición previa inexcusable de que la cantidad de juguetes sea igual o menor que la cantidad de elementos diferenciadores. En caso contrario, no podremos afirmar que el nuevo juguete sea diferente a todos y cada uno de los anteriores.

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Cuando Cantor elaboró su demostración, ésta era válida porque él aceptaba que la equipotencia entre los naturales y los dígitos de los irracionales representaba que ambos conjuntos tenía una misma CANTIDAD de elementos.

Pero desde la axiomatización de Zermelo sabemos que dicha equipotencia NO representa que ambos conjuntos tengan la misma cantidad de elementos. No existe ninguna causa matemática que identifique cardinalidad con cantidad entre dos conjuntos infinitos.

Aceptar que con la diagonalización estamos recorriendo todos los números naturales porque podemos establecer una biyectiva entre ambos conjuntos, representa que estamos reintroduciendo el concepto de cardinalidad=cantidad allí donde fue necesario una reaxiomatización para evitar las inconsistencias matemáticas que se producían cuando equiparábamos cardinalidad y cantidad.

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Desde la perspectiva de la geometría podemos planteárnoslo de esta forma:

Una recta a 45º (recorriendo un paso hacia abajo cada vez que recorremos un paso hacia la derecha) que parte de la esquina de un cuadrado, es una bisectriz del ángulo de dicha esquina que a atraviesa todas las filas y todas las columnas, llega hasta la esquina opuesta formando una diagonal.

Pero dicha bisectriz no atravesará todas las filas y todas las columnas si no es un cuadrado. Dejará filas sin recorrer si hubiera más filas que columnas, y dejará columnas sin recorrer si hubiera más columnas que filas.

Para estar seguros de que la bisectriz recorrerá todas las filas y todas las columnas es requisito imprescindible que la figura sea un cuadrado que tenga EXACTAMENTE la misma cantidad de filas y columnas.

Cantor podía pensar que era un cuadrado porque él creía que había EXACTAMENTE la misma cantidad de naturales que dígitos en un irracional. Pero hoy en día nosotros sabemos que eso es FALSO; y sabemos que aunque ambos conjuntos tengan la misma cardinalidad, la teoría de conjuntos NO DICE que ambos conjuntos tengan la misma cantidad de elementos.

Aceptar que una figura con un ángulo recto y lados infinitos forma un cuadrado cuyos lados miden EXACTAMENTE igual, es una falacia.

Aceptar que los lados de dicha figura miden EXACTAMENTE lo mismo, representa que estamos reintroduciendo un concepto (cardinalidad=cantidad) que tuvo que ser desechado por absurdo (arrojaba inconsistencias)

Saludos.

P.D. A la tarde publicaré el contraejemplo a la diagonal de Cantor. Espero hacerlo con la suficiente rigurosidad matemática que precisa una cuestión como esta.

Nexus 7
21/02/2006, 18:42
Definición de los conjuntos a emplear:

Sea A_0 \ = \ \{0\}

Sea A_n \ = \ \{ \frac{x}{10^n} \ | \ x < 10^n, \ x \not \equiv 0(mod 10) \} \quad x,n \in \mathbb{N}

Por si acaso hubiera algún error "ortográfico", con la segunda definición pretendo definir los siguientes conjuntos:

A_1 = {0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9}
Esto es, todos los números que se obtienen al dividir entre 10¹ los 10¹ primeros números naturales y que no sean múltiplos de 10.

A_2 = {0.01, 0.02, ..., 0.08, 0.09, 0.11, 0.12, ... 0.99}
Esto es, todos los números que se obtienen al dividir entre 10² los 10² primeros números naturales y que no sean múltiplos de 10.

A_3 = {0.001, 0.002, ... 0.997, 0.998, 0.999}
Esto es, todos los números que se obtienen al dividir entre 10³ los 10³ primeros números naturales y que no sean múltiplos de 10.
...
...
...
A_7 = {0.0000001, 0.0000002, ... 0.9999998, 0.9999999}
Esto es, todos los números que se obtienen al dividir por 10^7 los 10^7 primeros números naturales y que no sean múltiplos de 10.
...
...
...

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Sea A \ = \ \{ \bigcup_{k = 0}^{\infty} A_k \}

Por si acaso hubiera algún error "ortográfico", con esta definición pretendo definir el conjunto que es la unión infinita de todos los conjuntos que he definido hasta ahora.


Todos los conjuntos A_n son finitos, ordenables de menor a mayor, enumerables y numerables.

El conjunto A es un conjunto de cardinal infinito, es enumerable y numerable. Y es ordenable de menor a mayor n del A_n al que pertenecen, y dentro de cada A_n de menor a mayor. Dicha enumeración se hace de la siguiente forma:

1º los elementos de A_0 ordenados de menor a mayor = {0}
2º los elementos de A_1 ordenados de menor a mayor = {0.1, 0.2, 0.3, ... 0.9}
3º los elementos de A_2 ordenados de menor a mayor = {0.01, 0.02, ... 0.99}
4º los elementos de A_3 ordenados de menor a mayor = {0.001, 0.002, ... 0.999}
...
...
nº los elementos de A_{(n-1)} ordenados de menor a mayor

Por lo que la enumeración de los elementos de A queda de la siguiente manera:
A = {0, 0.1, 0.2 ... 0.8, 0.9, 0.01, 0.02, 0.03 ... 0.98, 0.99, 0.001, 0.002, 0.003, ...}

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Sea B = A
Sea B_i \ = \ \{b_n \in B \ | \ n \in \mathbb{N}, n=\text{(posicion en la enumeracion de B)}, \ n \le i \}, i \in N

Por si acaso hubiera algún error "ortográfico", con esta definición pretendo definir lo siguiente:
b_1 = \{0\} (b_1 es el primer elemento de la enumeración de B)
b_2 = \{0.1\} (b_2 es el segundo elemento de la enumeración de B)
b_3 = \{0.2\} (b_3 es el tercer elemento de la enumeración de B)
b_4 = \{0.3\} (b_4 es el cuarto elemento de la enumeración de B)
...
b_{11} = \{0.01\} (b_11 es el decimoprimer elemento de la enumeración de B)
b_{12} = \{0.02\} (b_12 es el decimosegundo elemento de la enumeración de B)
...
b_n = es el enésimo elemento de la enumeración de B
...

B_1 es el conjunto formado por el primer elemento de B
B_2 es el conjunto formado por los 2 primeros elementos de B
B_3 es el conjunto formado por los 3 primeros elementos de B
...
B_n es el conjunto formado por los n primeros elementos de B.


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Contraejemplo a la diagonal de Cantor.

Para recordar un poco la demostración de Cantor, ésta viene a decir lo siguiente:
Dada una lista cualquiera de números reales del intervalo [0, 1] escritos en su formato de número real, siempre es posible escribir otro número cuyo n decimal sea diferente a 0, sea diferente a 9 y sea diferente al n decimal del número que ocupa la posición n en dicha lista.

Como el número así creado difiere en el dígito n a todos los números listados, dicho número no está enumerado en dicha lista. Y por lo tanto dicha lista está incompleta y por lo tanto el conjunto de los números reales es un conjunto no numerable.


Pues la lista de números reales que yo propongo, es la siguiente: La enumeración del conjunto A.

El número que forma Cantor toma la forma 0,x_1x_2x_3x_4x_5x_6x_7... Donde:
x_1 es un dígito diferente de 0, 9 y del primer decimal de b_1
x_2 es un dígito diferente de 0, 9 y del segundo decimal de b_2
x_3 es un dígito diferente de 0, 9 y del tercer decimal de b_3
x_4 es un dígito diferente de 0, 9 y del cuarto decimal de b_4
...
x_n es un dígito diferente de 0, 9, y del enésimo decimal de b_n

Recordemos que B=A y ambos conjuntos tienen la misma enumeración, y por lo tanto el elemento a^x_y que ocupa la posición n en la enumeración de A es el elemento que hemos llamado b_n

Como b_1 = {0}, el primer decimal de b_1 es el 0
Como b_2 = {0.1}, el segundo decimal de b_2 es el 0
Como b_3 = {0.2}, el tercer decimal de b_1 es el 0
Como b_4 = {0.3}, el cuarto decimal de b_1 es el 0
...
Como b_{11} = {0.01}, el decimoprimer decimal de b_{01} es el 0
...

En la enumeración de A, la cantidad de dígitos significativos de un elemento siempre es inferior al número de orden de dicho elemento en la enumeración de A y B, y por lo tanto el decimal n de b_n siempre es 0. Y por ello, para cumplir las condiciones de Cantor solo es preciso cumplir la condición de que el decimal elegido siempre sea diferente de 0 y 9.

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Aparentemente, el número así construído no está en la lista. Pero SÍ está en la lista y voy a demostrarlo.

Cuando Cantor elige x_1, es cierto que el número 0,x_1 es diferente de b_1, pero también es cierto que dicho número es el elemento a^{x_1}_1 que pertenece al conjunto A_1. Como el conjunto A_1 ya ha sido listado, el elemento a^{x_1}_1 SÍ está en la lista y por lo tanto el número así construído por Cantor sí está en la lista.

Cuando Cantor elige x_2, es cierto que el número 0,x_1x_2 es diferente de b_2, pero también es cierto que dicho número es el elemento a^{x_1x_2}_2 que pertenece al conjunto A_2. Como el conjunto A_2 ya ha sido listado, el elemento a^{x_1x_2}_2 SÍ está en la lista y por lo tanto el número así construído por Cantor sí está en la lista.

Cuando Cantor elige x_3, es cierto que el número 0,x_1x_2x_3 es diferente de b_3, pero también es cierto que dicho número es el elemento a^{x_1x_2x_3}_3 que pertenece al conjunto A_3. Como el conjunto A_3 ya ha sido listado, el elemento a^{x_1x_2x_3}_3 SÍ está en la lista y por lo tanto el número así construído por Cantor sí está en la lista.
...
...
Cuando Cantor elige x_n, es cierto que el número 0,x_1x_2...x_n es diferente de b_n, pero también es cierto que dicho número es el elemento a^{x_1x_2...x_n}_n que pertenece al conjunto A_n. Como el conjunto A_n ya ha sido listado, el elemento a^{x_1x2...x_n}_n SÍ está en la lista y por lo tanto el número así construído por Cantor sí está en la lista.


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Para todo x_n, el número así construído no pertenece a B_n (es diferente a todos los n primeros números de la lista), pero eso NO implica que ese número no está en lista. De hecho, dicho número es un elemento que pertenece al conjunto A_n y por lo tanto dicho número SÍ ha sido listado y SÍ está en dicha lista.

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FAQ

Si alguno de vosotros ha sido capaz de tragarse todo este rollazo, supongo que tal vez se os ocurran algunas de estas cuestiones más habituales:

1ª Como para todo n el número de Cantor es diferente de todos los números listados, el número de Cantor no está en la lista.
Respuesta: Perdón, pero para tono n, el número de Cantor tan solo es diferente de todos los n PRIMEROS números listados, pero eso no indica que sea diferente a TODOS los números listados. De hecho, para todo n, el número de Cantor es un elemento que pertenece a A_n. Como se han enumerado todos los elementos de todos los A_n, el número de Cantor también está en la lista.

2ª El número de Cantor tiene una cantidad infinita de dígitos, algo que no pueden tener los elementos de tus conjuntos.
Respuesta: Infinito NO es ninguna cantidad y por lo tanto veo absurdo hablar de cantidades infinitas. Lo que ocurre es que no existe ningún valor límite a la hora de poner decimales a ese número, pero es que tampoco existe ningún límite a la hora de poner valores a los sucesivos A_n.

3ª Pero el n de Cantor tiende a infinito.
Respuesta: Y el n de A_n también tiende a infinito. Y todo n de Cantor tiene su correspondiente A_n que le contiene.

4ª Pero el n de Cantor LLEGA hasta el infinito.
Respuesta: No me lo creo. Pero si por cualquier motivo Cantor es capaz de llegar hasta el mismísimo infinito a base de repetir una y otra vez la función "siguiente de n" en su construcción, entonces mis conjuntos A_n también son capaces de llegar hasta el mismísimo infinito haciendo lo mismo que haga Cantor.


Saludos.


P.D. Si alguien cree que el número misterioso sigue sin estar en la lista, estaría muy agradecido si me indicara exactamente cual es el n a partir del cual el número así construído NO está en la lista.

Edit: editado para corregir algún gazapo sin mayor importacia que la púramente anecdótica. El elemento b_(11) NO es {0,11} sino que es {0.01}, y escribí U_ donde debería haber tecleado A_

mefistofeles
21/02/2006, 20:24
Nexus 7 dijo:

Y a nivel de la lógica matemática (si consiguiera convencer a alguno de vosotros) que en conjuntos infinitos el concepto "cualquier" y "todos" tienen implicaciones diferentes a las implicaciones que tienen cuando tratamos conjuntos finitos. {Que podamos hacer una enumeración que llegue hasta cualquier natural, no implica que hayamos enumerado TODOS los naturales}

¡Que recuerdos! creo recordar que esta fue la primera discusion que provoqué en 100cia.com cuando aun era 100cia.com. recuerdo que en aquella ocasion solo una persona "se ponia de mi parte" y no solo eso, sino que me explico lo que yo no era capaz de comprender. en quella ocasion tuve que acabar aceptando que la idea del infinito reconocida tenia sentido, y marque este punto como: "algo con lo que rayarme la cabeza cuando acabe la carrera". aun no he terminado asi que no se si podre dedicarle todo el tiempo que me gustaria (aun con examenes), pero que sepas que al menos en esto(lo demas ya lo estudiare) ya convenciste a uno en su dia.

salu2 y a ver si aparece tu nombre en los libros de mate del futuro.

leach
21/02/2006, 21:47
:cafe:

Te has tomado un gran esfuerzo para hacer que se entiendan tus posts, y lo has logrado, porque se entienden al tiempo que se leen. Y eso no es fácil, ni es un mérito pequeño :D .

Dos objecciones que me vienen a la cabeza tras una primera lectura.

1) La objeción que das al método de la diagonal es correcta, pero nunca se aplica porque en el caso que estudia cantor siempre hay suficientes elementos para formar una diagonal.

Cantor usa su razonamiento para probar que dado un conjunto A, sus partes \mathcal{P}(A) siempre tienen más elementos. En este caso, que es el que pensó Cantor, siempre tenemos piezas suficientes.

Voy a poner un ejemplo en el caso de conjuntos finitos, para ilustrar la idea. Si tenemos un conjunto A con n elementos, entonces sus partes \mathcal{P}(A) tienen 2^n elementos.

Esto significa que cada elemento de \mathcal{P}(A) puede representarse con un número binario de n bits. En otras palabras, tenemos n piezas con las posibilidades 0 y 1. Y n piezas son todo lo que necesitamos para aplicar el razonamiento de Cantor en este caso.



Ejemplo&#58; sea A un conjunto de 3 elementos. Entonces sus partes P&#40;A&#41; tienen 8 elementos. Podemos representar cada uno de los elementos de P&#40;A&#41; como un número de 3 bits.

Entonces, tomemos 3 elementos al azar de P&#40;A&#41;, pongámoslos en una tabla, y demostremos que hay un cuarto que no está en la tabla.

---+-------------+
1 | 0 0 0 |
2 | 1 0 1 |
3 | 0 1 1 |
---+-------------+

El elemento que falta podemos construirlo tomando cada uno de los bits de la
diagonal, y calculando su not. Por ejemplo&#58; &#40;not 0&#41; , &#40;not 0&#41; , &#40;not 1&#41; = 110 no
está en la lista.

En la demostración de Cantor para los números naturales y los reales, ocurre exactamente lo mismo: se tienen suficientes piezas para formar la diagonal.

Por ello tu objección, que es correcta, no se llega a aplicar a ninguno de los casos que estudió Cantor.



2) En tu contraejemplo a la diagonal de Cantor en el tercer post, puede construirse un elemento que no está en ninguno de los conjuntos que has citado. Seguramente ya te has dado cuenta, y no he comprendido tu objeción, así que voy a dar el número y así puedes aclararme cuál es el problema.

Tomemos el número real \omega \ =\ \frac{7}{9} \ = \ 0.7777777\ldots. Este número no tiene otras representaciones decimales.

Este número no está en ninguno de los elementos de tu lista, y además cumple la condición deiagonal, porque ninguno de sus decimales es 0 ó 9.

En otras palabras, \omega\notin A_n, para cualquier n. Esto es trivial, porque todos los elementos de cada A_n son 0-periódicos o 9-periódicos, pero nunca 7-periódicos.

Por lo tanto, \omega\notin A, y el argumento de Cantor ha funcionado.

Observa que este número \omega no tiene nada de misterioso, es racional y podemos construirlo con regla y compás. Y cumple la condición de Cantor. No creo que pueda decirse, de acuerdo con la FAQ, que este número no existe.

En fin, esas son mis objecciones fundamentales. Aun teniendo en cuenta las objecciones, la tuya me parece una exposición muy buena, muy clara, e interesante. Y yo no estoy especializado en metamatemática, así que quizás no tengo un punto de vista del todo completo en el asunto.

:h:

Nexus 7
22/02/2006, 03:27
Puff, estaba en tensión porque me horrorizaba pensar en las posibles respuestas de Leach y Carlos (la última de leach en este asunto -la no enumeración del conjunto de las listas incluídas en N- me trajo 5 días de cabeza hasta que conseguí una contrademostración aceptable), pero ya ha vuelto el color a mi cara. De momento, ya veremos si aguanta o me quedo pálido de sopetón.


¡Que recuerdos! creo recordar que esta fue la primera discusion que provoqué en 100cia.com cuando aun era 100cia.com. recuerdo que en aquella ocasion solo una persona "se ponia de mi parte" y no solo eso, sino que me explico lo que yo no era capaz de comprender. :D Todavía recuerdo tu mensaje como si lo hubiera leído esta misma mañana, y eso que ya habrán pasado 2 o 3 años. Cuando pienso todos los dolores de cabeza (de tanto pensar) y todos los disgustos que me ha causado un simple mensaje de Mefistófeles sobre un simple comentario de un libro de matemáticas para parvulitos ... me entra una sonrisa de oreja a oreja. No es que yo sea masoquista, es que todo esto de mi oposición al infinito me parece una descomunal frikada.


pero que sepas que al menos en esto(lo demas ya lo estudiare) ya convenciste a uno en su dia. Siempre es agradable descubrir que no fueron inútiles los esfuerzos de uno.

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Te has tomado un gran esfuerzo para hacer que se entiendan tus posts, y lo has logrado, porque se entienden al tiempo que se leen. Y eso no es fácil, ni es un mérito pequeño :D . Muchas gracias, me llevaron 2 días escribirlos.



Dos objecciones que me vienen a la cabeza tras una primera lectura.

1) La objeción que das al método de la diagonal es correcta, pero nunca se aplica porque en el caso que estudia cantor siempre hay suficientes elementos para formar una diagonal. [...]

En la demostración de Cantor para los números naturales y los reales, ocurre exactamente lo mismo: se tienen suficientes piezas para formar la diagonal.

Por ello tu objección, que es correcta, no se llega a aplicar a ninguno de los casos que estudió Cantor. O.K. Estoy de acuerdo con que siempre tendremos piezas para seguir construyendo y eso nos lleva a pensar que siempre podremos obtener un número diferente a todos los elementos que hemos "analizado". El problema reside en que ese "todos" siempre hace referencia a "todos los n primeros elementos analizados", y yo no estoy de acuerdo que todos los n primeros elementos realmente puedan representar a todos los elementos por mucho que n tienda a infinito.

Esto es, no estoy de acuerdo con que la unión de todos los n primeros naturales sea N. Reconozco que las matemáticas permiten demostrar que \mathbb{N} = \cup_{i=1}^{\infty} N_i pero no estoy de acuerdo con dicha demostración. No obstante, ya no la critico sino que la he asimilado y la emplearé a base de bien en los puntos «enumeración de los números reales» y «enumeración del conjunto de las listas ordenadas infinitas» para mostrar inconsistencias cuando empleamos dicha demostración.

Entiendo y veo lógica tu observación porque pienso que es terríblemente lógico pensar que si a cada dígito de un irracional le corresponde un n, entonces el método de la diagonal nos siga siendo de utilidad. Pero tambien veo lógico que si a cada dígito de un irracional le corresponde una potencia de 10, entonces el método de la diagonal hace aguas porque no recorre todos los n (por cada n que sí recorre, existen 9 n que no recorre). Y en cuanto a la numeración binaria, tan solo es cuestión de alterar el ejemplo y establecer una biyectiva entre los dígitos del binario y su oportuna n-potencia.

Pero bueno, creo que todos los matemáticos siempre acabarán supeditando todo esto de la "explicación lógica" al hecho de si es posible o no es posible poner contrajemplos y demostraciones que demuestren inconsistencias matemáticas.

Puse dicha "explicación lógica" porque me gustaría mostrar que existen razones lógicas que muestran el fallo que se debe atacar con demostraciones matemáticas (la lógica indica el fallo por sí sola, las demostraciones matemáticas solo me son útiles para demostrárselo a los matemáticos). Pero como pienso que ningún matemático desechará por falaz una teoría tan arraigada como la de los conjuntos por un argumento lógico y precisaré mostrar alguna inconsistencia matemática ... vayamos al apartado matemático.



2) En tu contraejemplo a la diagonal de Cantor en el tercer post, puede construirse un elemento que no está en ninguno de los conjuntos que has citado. Seguramente ya te has dado cuenta, y no he comprendido tu objeción, No es que yo me haya dado cuenta de que no está, es que aceptar (de antemano y sin más demostraciones matemáticas) si está o no está dependerá del concepto que tengamos de número periódico. Cualquier egipcio clásico versado en números no dudaría en afirmar que sí está porque yo he empleado su forma de construír números, pero no tengo ningún inconveniente en aceptar (de momento y solo hasta que lleguemos al punto "enumeración de los números reales") que el racional 7/9 no está en dicha lista.


así que voy a dar el número y así puedes aclararme cuál es el problema. El problema no es si 7/9 está o no está, el problema es que existe una demostración matemática que dice que el número de Cantor (que se construye paso a paso) no está en la lista, y a su vez existe otra demostración matemática que dice que sí están en la lista todos los números que se construyan paso a paso.

Actualmente concebimos los números reales como un todo, un número real no se construye poco a poco sino que ya está construído de antemano (pi, 1/3, phi, raíz de 2) y por ello, con todo el peso de la lógica y de las matemáticas, puedes afirmar que NO está.

Hacer una demostración consistente en que una lista concreta SÍ tiene a TODOS los números del intervalo [0, 1] lo dejo para el punto «una enumeración de los números reales». Pero en este punto que tratamos mi objetivo es mucho más modesto y mucho más sencillo: mostrar una lista donde aparece cualquier número que podamos construir paso a paso -a lo egipcio-, primero un dígito y luego el siguiente -a lo Cantor-.

Es evidente que si "descubrimos" de antemano el número "misterioso" (en este caso podría ser 7/9) cualquier lista finita puede contener dicho número y no por ello los reales habrían de ser numerables. Pero considero que es válida mi demostración de que dicha lista contiene cualquier número que podamos construir paso a paso empleando el procedimiento de construcción de Cantor.

Cantor dice que el número que él construye no está en la lista PORQUE para todo n, su número difiere del elemento n en el dígito n.

Y yo digo que construya Cantor el número que construya, su número sí está en la lista PORQUE ya lo he construído yo antes que él. En concreto y para todo n, su número aparece en el "párrafo" asignado a A_n, es el elemento a^{x_1x_2...x_n}_n.

Y a pesar de que es cierto que para todo n el número no figura entre los n primeros elementos, para todo n podemos encontrarlo exactamente en el puesto 10^{n-1}+ x_1x_2...x_{n-1} \cdot 9 + x_n sin que difiera ningún dígito.



En fin, esas son mis objecciones fundamentales. Aun teniendo en cuenta las objecciones, la tuya me parece una exposición muy buena, muy clara, e interesante. Se agradecen tus palabras profundamente.


Y yo no estoy especializado en metamatemática, así que quizás no tengo un punto de vista del todo completo en el asunto. Bueno, los conocimientos matemáticos de los usuarios de estos foros sobrepasan mis espectativas actuales. Si yo consiguiera dejarte sin argumentos, o consiguiera que tú o Carlos (o cualquier otro peso pesado) dijerais que estáis consternados porque no veis ningún fallo a la incoherencia matemática que yo digo que sí existe ... (se puede demostrar con matemáticas que 7/9, \pi - 3 y \phi-1 sí pertenecen a A) ... mandaría hacer una edición con mis apuntes y los iría regalando entre quienes pudieran ser de utilidad.


Saludos.

P.D. La demostración la había construído con 1/3, pero editaré y la construiré con 7/9.

mefistofeles
22/02/2006, 12:55
hola a todos.
yo tambien creo tener una objeccion al argumento de nexus 7, el problema es que no entiendo lo que dice realmente la diagonal de cantor y por eso es probable que mi objeccion sea una chorrada. lo unico que he encontrado en internet es lo qeu pretende ser una demostracion alternativa (que por cierto me parece totalmente absurda), Relacionado con las muñecas rusas estas que se meten unas dentro de otras.
por esto necesito algun enlace en el que expliquen rigurosamente la demostracion de la diagonal de cantor. si conoceis alguno y me lo facilitais tal vez pueda aportar algo al tema.

salu2.

jerus
22/02/2006, 13:41
Y yo digo que construya Cantor el número que construya, su número sí está en la lista PORQUE ya lo he construído yo antes que él

Esta frase es para analizarla bien. Es la bomba! :r:

Nexus 7
22/02/2006, 15:21
Hola.


lo unico que he encontrado en internet es lo qeu pretende ser una demostracion alternativa (que por cierto me parece totalmente absurda), Relacionado con las muñecas rusas estas que se meten unas dentro de otras. Esa demostración alternativa la trataré en el punto "Demostración «intervalos encajados» en el conjunto Q". Es una demostración bastante compleja de entender desde las matemáticas, pero muy sencilla de entender desde la lógica.

Desde la lógica, esa demostración dice lo siguiente: si intentamos enumerar el conjunto de los números reales ateniéndonos a su valor aritmético, nos encontramos que no podemos enumerar dos números correlativos porque entre ambos números siempre existe un tercer número que debería haber sido enumerado entre el primero y el segundo. Esto es, si yo hago esta enumeración {0.1, 0.2, ...} existe al menos un número (el 0.15) que debería haber sido enumerado antes del 0.2; y si ahora incluyo dicho número en la enumeración {0.1, 0.15, ...} entonces vuelve a existir al menos otro número (el 0.11) que deberíamos haber enumerado antes del 0.15.

En matemáticas esa demostración lógica toma los siguientes cauces matemáticos:
Dado un intervalo cualquiera (en este caso sería el intervalo marcado por los dos primeros números enumerados [0.1, 0.2]), dicho intervalo no está vacío. Si reducimos el intervalo, esto es, si encajamos en dicho intervalo un intervalo más pequeño, nos encontramos que dicho intervalo encajado (en este caso sería el intervalo [0.1, 0.15] sigue sin estar vacío. Y si volvemos a reducir el intervalo, esto es, si volvemos a encajar dentro del intervalo pequeño otro intervalo más pequeño todavía (en este caso el intervalo [0.1, 0.11]) sigue sin estar vacío (todavía está el 0.105 que está entre el 0.1 y el 0.11). De esta forma demostramos que no podemos establecer elementos correlativos que precisamos tener para poder hacer la enumeración.

Espero que la hayas entendido y que ahora ya no te parezca absurda. El problema de esta demostración es que las conclusiones que obtienen las hacen empleando una falacia.

Esa demostración sí demuestra que \mathbb{R} no es enumerable por el valor aritmético de sus elementos, pero eso no implica que \mathbb{R} no sea enumerable siguiendo otros criterios de enumeración ¿Porqué? Pues porque el conjunto \mathbb{Q} tampoco es enumerable por el valor aritmético de sus elementos pero sí es enumerable siguiendo otros criterios de enumeración diferentes.

\mathbb{Q} es enumerable ateniéndonos en primer lugar al valor de la suma del numerador y del denominador, y en caso de empate (3/4 y 2/7) resolvemos por algún criterio alternativo (el denominador más alto, o el más bajo), pero \mathbb{Q} sigue siendo un conjunto no numerable ateníendonos en exclusiva al valor aritmético de sus elementos.

La cuestión es: Dado un conjunto cualquiera, la condición de que no puede ser enumerado ateniéndonos en exclusiva al valor aritmético de sus elementos ... IMPLICA O NO IMPLICA que dicho conjunto es "no numerable"?

Si dicha condición IMPLICA que el conjunto es "no numerable", entonces el conjunto \mathbb{Q} es un conjunto "no numerable" porque tiene la condición de que no puede ser enumerado ateniéndonos en exclusiva al valor aritmético de sus elementos.

Si dicha condición NO IMPLICA que el conjunto es "no numerable", entonces la demostración de los intervalos encajados NO IMPLICA que el conjunto \mathbb{R} tenga la condición de "no numerable".

Esto es, si aceptamos que la implicación es verdadera, entonces con matemáticas podemos demostrar que \mathbb{Q} es numerable y es "no numerable". Lo cual es absurdo y demostraría que la teoría de conjuntos es incoherente.

Pero si aceptamos que la implicación es falsa, entonces la demostración de los intervalos encajados es tan válida como decir que todas las x y todas las y que aparecen en todas las ecuaciones de segundo grado son pares porque mi casa es blanca.




por esto necesito algun enlace en el que expliquen rigurosamente la demostracion de la diagonal de cantor. si conoceis alguno y me lo facilitais tal vez pueda aportar algo al tema. El bueno de Herodoto publicó una demostración en los foros de HispaSeti. Fue en el tema que acabó dando forma a esta tontiteoría que publico, pero desgraciadamente ciertos enfrentamientos personales dio lugar a que un webmaster cerrara el tema. Y por supuesto, no tienen Latex y eso tiene sus inconvenientes.

Puedes encontrar dicha demostración en el tercer mensaje de http://www.hispaseti.org/foroWanaH//viewtopic.php?t=3603 si es rigurosa o no, lo dejo a tu decisión.



Esta frase es para analizarla bien. Es la bomba! :lol: No sé si te acabaré convenciendo, pero al menos ya he inyectado la duda en alguno de vosotros.
:twisted: :sith:

mefistofeles
22/02/2006, 22:28
hola Nexus, para ser sincero, la explicacion que me has dado no se parece demasiado a la que yo encontre por la red aunque trata de lo mismo. lo que tu me has explicado si parece muy lógico(aun no digo que lo sea), pero la demostracion que yo vi, al menos de la manera que estaba explicada es errrones(creo). pero como esto va mas tarde en tu tontiteoria(creo que le nombre que le has dado no es el mas apropiado) pues ya lo veremos cuando lo pongas, o si prefieres lo vemos ahora en post a parte.
en cualquier caso gracias por el enlace, en cuanto lo lea y entienda tendras noticias mias.
salu2.

P.D. enterremos a Cantor con una mota de polvo!!!!

Nexus 7
24/02/2006, 13:51
Hola.

Pasaré a un nuevo punto: Otra forma de escribir números. (Los números conjuntos).

Como en todo momento pretendo estar dentro de la más extricta ortodoxia matemática, no inventaré nada nuevo sino que emplearé conceptos y métodos que el propio Cantor ya pudo emplear en su momento. Pero eso sí, no solamente lo emplearé para el objetivo concreto que Cantor lo hizo, sino que los generalizaré y lo emplearé para demostrar lo contrario que demostró Cantor.

Cantor estableció una biyectiva entre los decimales (significativos o no) de un número real y N. Esto es:

Al primer decimal de pi, el 1, le corresponde el 1
Al segundo decimal de pi, el 4, le corresponde el 2
Al tercer decimal de pi, el 1, le corresponde el 3
Al cuarto decimal de pi, el 5, le corresponde el 4
Al quinto decimal de pi, el 9, le corresponde el 5
...
Al enésimo decimal de pi, el int(10[\pi 10^{n-1} - int\{\pi 10^{n-1}\}]), le corresponde el n

Dicha biyectiva no solo se puede establecer con los irracionales, sino que también se puede establecer con los decimales de un racional.

Al primer decimal de 32/33, el 9, le corresponde el 1
Al segundo decimal de 32/33, el 6, le corresponde el 2
Al tercer decimal de 32/33, el 9, le corresponde el 3
Al cuarto decimal de 32/33, el 6, le corresponde el 4
...
Al enésimo decimal de 32/33, el 9 si n es impar o el 6 si n es par, le corresponde el n

E incluso con los decimales de un entero (1 con el primer 0, 2 con el segundo 0, ...)

Por un lado tenemos que el conjunto de los decimales de 32/33 está formado por seises y nueves, pero el conjunto de los decimales de 32/33 no puede ser {6, 9} porque entonces sería un conjunto de cardinal=2 y entonces no podríamos establecer la biyectiva que Cantor dijo que sí podíamos hacer. Dicho conjunto debe tener alguna característica que nos permita diferenciar el 9 de las décimas, del 9 de las centésimas y del 9 de las diezmilésimas.

Por otro lado tenemos que el conjunto de los decimales de 31/33 es diferente al conjunto de los decimales de 32/33 (uno es 93 periódico, y el otro es 96 periódico) y por lo tanto el conjunto de los decimales de uno y otro número no es un único conjunto.

Y por otro lado tenemos que las biyectivas son aplicaciones entre conjuntos y por lo tanto no podemos establecerlas entre N y un único número considerado como un único elemento.

Está claro que para poder establecer esas biyectivas, Cantor tuvo que definir algún conjunto que representara al conjunto de los decimales de un número. También lo pudo haber establecido para todos los números aunque tuvieran una parte entera, pero aunque esto último es lo que yo haría definiendo dichos conjuntos como \mathbb{E}\times\mathbb{E}, me centraré en el intervalo [0, 1[ que carecen de parte entera y nos simplificará las cosas.

Definiré el conjunto de los decimales de un número real como un conjunto \mathbb{N}\times\mathbb{N} en el que cada uno de sus elementos tienen el formato \left\{\left(n,\, f(r_n)\right)\right\} donde f(r_n) es el dígito que ocupa la posición n. Reconozco que tal vez pudiera parecer un \mathbb{N}\times\mathbb{R} puesto que r es un número real, pero no es así porque f(r_n) es una función que siempre nos devuelve un elemento de \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}\subset\mathbb{N}

Eso sí, antes de hacer las definiciones formales y dado que estos son unos foros y no es ningún tribunal académico ... me gustaría recordaros que soy un pobre huérfano de pueblo sin estudios: es la primera vez que voy a definir una función y tengo muy poca experiencia definiendo conjuntos, si veis alguna definición impropia, algún abuso de notación o alguna definición que no haya explicado en el párrafo de arriba ... os estaría muy agradecido que me lo indicarais para corregirlo

-----------------------

f:\mathbb{N}\longrightarrow \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}\subset\mathbb{N}

f(r_n) \ = \ int(10[r \cdot 10^{n-1} - int\{r \cdot 10^{n-1}\}])

Sea \quad J^r \ \subset \mathbb{N}\times\mathbb{N} \quad = \quad \left\{ \left(n, f(r_n) \right) \ | \ n \in \mathbb{N} \right\}, \ r \in \mathbb{R}


Por lo que ya tenemos un conjunto que representa al conjunto de los decimales de un número real. Así por ejemplo, el conjunto de los decimales del número 0,7 sería algo así como ...
J^{0.7} \ = \ \left\{ (1, 7), (2, 0), (3, 0), (4, 0), (5, 0), ... \right\}

Y el conjunto de los decimales del número pi-3 sería algo así como ...
J^{\pi-3} \ = \ \left\{ (1, 1), (2, 4), (3, 1), (4, 5), (5, 9), ... \right\}


Ahora, establecer una biyectiva entre N y los decimales de un número cualquiera es algo trivial: f(n) = (n, x)

---------------------------

Pero es evidente que resulta embarazoso trabajar con números que para poder escribirlos siempre tengamos que emplear la enumeración de un conjunto infinito. Así pues, eliminaré los elementos que tengan un cero haciendo otra definición muy similar.

Sea \quad K^r \quad = \quad \left\{ \left(n, f(r_n) \right) \ | \ n \in \mathbb{N}, \ f(r_n)>0 \right\}

Ahora, el conjunto de los decimales de 0,2 es ... K^{0.2} \ = \ \{(1, 2)\}
Y el de 0,0002 es ... K^{0.0002} \ = \ \{(4, 2)\}

Esta forma de nomenclatura es realmente versátil:
Nos permite trabajar con cifras realmente pequeñas: \frac{8}{10^{120}} = \{(120, 8)\}

Sumar cifras "normales" con otras que normalmente despreciaríamos:
0.25 + \frac{8}{10^{120}} = \{(1, 2), (2, 5)\} + {(120, 8)\} = \{(1, 2), (2, 5), (120, 8)\}

Si en vez de definir el conjunto como \mathbb{N}\times\mathbb{N} lo hiciéramos como \mathbb{E}\times\mathbb{N} entonces también podríamos manejar cifras mayores que la unidad (cambiaríamos n por enteros que representarían las potencias de 10). Y podríamos sumar cantidades muy grandes como la masa de la Tierra con cantidades muy pequeñas como la masa de un mosquito:
6.4E24 kg + 0,0003 kg = \{(24, 6), (23,4), (-4,3)\}

Y si lo definimos como \mathbb{E}\times\mathbb{E} entonces podríamos inventar los números combinados que tendrían una parte positiva y una parte negativa.
\{(14, 5), (2, -6), (-5, 4)\} sería el resultado de 5E14 - 600 + 0,00004

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Perdonad, me he dejado llevar por otro tema. Es que no pude evitar la tentación de exponéroslos.

Al grano: Yo creo que este sistema puede representar otra forma de escribir números. Sería otra forma de escritura a añadir a las ya existentes: números romanos (CCCLXV), arábigos o reales (365), quebrados (\frac{730}{2}), números griegos (abraxas), complejos (365+0i), ...

Con estos números, un mismo valor aritmético puede ser escrito de varias formas diferentes, pero eso no es ningún problema porque ocurre lo mismo con el resto de sistemas numéricos.
10=010=10,000=10,0=raiz(100)=10/1=200/20=10 decenas y 0 unidades =9,999999...

Lo importante es que carecen de ambigüedad: cada número así escrito corresponde a un único valor matemático, y no es posible que una misma expresión represente a dos valores diferentes.

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Bueno, yo creo que esta forma de escribir números no es nada nuevo. A fin de cuentas, Cantor tuvo que utilizar conjuntos similares a éstos para poder hacer sus biyectivas, y tal y como yo los estoy planteando pienso que no es otra cosa que tratar con números el sistema que se emplea con letras cuando se hacen ciertos sorteos o en ciertos ámbitos legales donde al número 0,06038 se le llamaría ...
6 decimas {(2, 6)}
3 diezmilésimas {(4, 3)}
8 cienmilésimas {(5, 8)}


Se agradecerán comentarios, muy especialmente cualquier tipo de objeción a que esta forma de escribir números no pueda ser considerada válida por algún motivo.

Si no existen objeciones subsanables, mi siguiente paso será dar el descabello a la actual teoría de conjuntos empleando esta forma de escribir números. Si me pusiérais algún impedimento para poder emplear este sistema de numeración intentaría resolverlo. Si no pudiera resolverlo, la demostración seguiría otros cauces y sería algo más enfarragosa y tal no quedaría una demostración tan terríblemente evidente.


Saludos.


P.D. Mefistófeles, paso a responderte en un tema aparte. Cuando lo haya publicado editaré esta post data y pondré el enlace al tema.

leach
24/02/2006, 23:36
Hola, Nexus. Perdona que no respondiera antes, pero he estado muy ajustado de tiempo, entre varias cosas, estos últimos días.

Respecto a las objecciones que planteé, y tus respuestas, a ver si puedo centrarlas sin entrar en citas recursivas (que nos llevaría un montón de espacio).

1) Sobre la objeción al mecanismo diagonal de Cantor, en abstracto.

El objetivo de este mecanismo es construir al menos una fila que es distinta de todas las filas de la tabla. Creo que podemos plantear el método de Cantor de manera algorítmica para el caso finito, y generalizarlo al caso infinito.

Voy a desarrollar el algoritmo (que podría ser programado en una computadora).

A) Algoritmo finito de Cantor



ENTRADA&#58; una tabla de dígitos decimales A&#91;i&#93;&#91;j&#93;, de n filas por m columnas, tal que m >= n.
SALIDA&#58; una fila V&#91;i&#93; que no coincide con ninguna de las filas de A.

ALGORITMO&#58;

HACER i = 1 ;
REPETIR MIENTRAS i <= n
V&#91;i&#93; <- &#40;A&#91;i&#93;&#91;i&#93; + 1&#41; mod 10 ;
i <- i + 1 ;
FIN_REPETIR

SI n < m ENTONCES DEFINE V&#91;k&#93; = 0 PARA k = n+1, n+2, ... , m


Observa que este algoritmo lo puedes programar, y puedes probar que funciona, pues el vector V siempre es distinto de cada fila en al menos en un elemento. El algoritmo funciona siempre que el número de filas sea menor o igual que el número de columnas, de forma que tu objeción sólo se aplica al caso en que el número de filas es estrictamente mayor que el de columnas, que no se da en el problema de Cantor.


B) Algoritmo infinito de Cantor:

Supongamos que el número de columnas es infinito numerable, y que el número de filas es también infinito numerable.

Obviamente, tomando una cantidad finita de las primeras filas, y una cantidad idéntica de las primeras columnas, siempre podemos construir de manera única una cantidad finita de términos V[1], V[2], ... , V[k], para cualquier k, simplemente aplicando el algoritmo finito de Cantor. ¿Podemos construir de manera inequívoca una única sucesión infinita V[n], que difiere de todas las filas de nuestra tabla?

Desde un punto de vista matemático la respuesta es sí. Dado un número natural k cualquiera, siempre tengo definido de manera única el término V[k], aplicando el algoritmo a una subtabla de k+1 filas. Aunque tome una subtabla mayor, por la naturaleza de nuestro algoritmo, V[k] será el mismo. Luego no hay ambigüedad.

Por tanto, V está definiendo una sucesión, es decir una aplicación V:\mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{N} bien definida. Puedo computar cualquiera de sus términos de manera inequívoca.

En realidad, la sucesión V está tan bien definida como la sucesión de los números naturales, o como la sucesión de los números pares, o cualquier otra: yo no tengo en mi mente o en mi mano todos los términos, pero puedo computar cualquiera de ellos en tiempo finito (mayor o menor) y obtengo siempre el mismo resultado.

Por ello, dudar de esta construcción de Cantor sería, en definitiva, dudar de la construcción de los números naturales, y en ese caso creo que sería conveniente derivar la discusión a ese nivel, para poder enfocar mejor las sutilezas de tu objección.


2) Sobre la objeción al mecanismo de Cantor en el caso concreto de los números periódicos, etc.

Mi ejemplo en ese caso era que el vector/sucesión V[k] = 7, para todo k, no estaba en la tabla. Si aplicamos el algoritmo que propuse arriba, sumando 1 módulo 10, lo que obtenemos es V[k] = 1 para todo k, que es un ejemplo equivalente. Para no complicar las cosas, tomaré el V[k]=7 como en mi primer post, aunque con un V[k]=1 sería lo mismo.

Observa que en este caso sí que puedo computar de manera instantánea todos los términos del vector, que valen 7, así que no hay ningún problema en lo relativo a su existencia. El vector V calculado con el algortimo de Cantor existe, y es constante igual a 7.

En cuanto a que no está en ninguna fila, una vez más me parece sencillo de establecer. Toma este vector (no un vector parcial, que es cero a partir de cierto punto, sino el vector que tiene todos sus términos iguales a 7), y compáralo con cualquier fila. Como todas las filas de tu tabla son 9,9,9,... ó 0,0,0,... a partir de cierto punto, es obvio que V no coincide con ninguna fila. Luego este V no está en tu tabla.

Creo que lo que objetas en este caso, y que viene a ser que un V que sólo tenga sus primeros términos iguales a 7 estará en una fila posterior, está obviando el hecho que de en un paso dado sólo calculas los primeros términos de V pero no los posteriores: no puedes comparar en base a incógnitas y obtener una respuesta segura. Por ello es conveniente considerar el V final, todo sietes, que sabemos que existe (es una sucesión constante, trivialmente computable, y se corresponde con el racional 7/9) para ver dónde falla tu objección: estás aplicando el método de Cantor de manera adelantada, comparando el producto del paso k con una fila mucho mayor que k, cuando ése no es el procedimiento a seguir para construir V.

Si por el contrario aplicas el método de Cantor para construir V, y luego comparas ese V con tu tabla, puedes ver que el vector obtenido no coincide con ninguna fila. Es decir, primero tienes que aplicar el algoritmo de Cantor, que da una respuesta bien definida, y una vez que tienes el resultado (ya sin incógnitas), lo comparas con tu tabla para ver si es correcto.

Espero que de esta manera podamos centrar tus objeciones en un nivel más adecuado, que me parece que está en la axiomática de los números naturales.

:h:

Nexus 7
25/02/2006, 03:29
Hola.


Observa que este algoritmo lo puedes programar, y puedes probar que funciona, pues el vector V siempre es distinto de cada fila en al menos en un elemento. El algoritmo funciona siempre que el número de filas sea menor o igual que el número de columnas, Hasta aquí, estamos de acuerdo.


de forma que tu objeción sólo se aplica al caso en que el número de filas es estrictamente mayor que el de columnas, que no se da en el problema de Cantor. Perdona, pero aquí ya hay un error de concepto.

Veamos, aunque en el lenguaje castellano una falacia es una mentira, en el argot lógico una falacia NO es una afirmación falsa, simplemente es una afirmación INFUNDADA.
Ejemplo de falacia: Si A>B y C>D, entonces A>D.
Pues no. A>D no tiene porqué ser verdadera, pero tampoco tiene porqué ser falsa.

Si yo puse el ejemplo de las filas y columnas finitas fue precisamente para hacer constar lo siguiente: La relación de cantidad entre filas y columnas es un factor a tener en cuenta para saber si el método de la diagonalización es válido o no es válido.

Y eso tiene una consecuencia fundamental: Si por cualquier motivo no estamos seguros de que el factor cantidad cumple las condiciones necesarias, no estaremos seguros de que la diagonalización haya sido válida.


Lo importante desde el punto de vista de la deducción NO es que para invalidar la diagonalización debamos estar seguros de que hay más filas que columnas. Lo realmente importante es que para estar seguros de que la diagonalización es correcta, es requisito imprescindible estar seguros de que hay al menos tantas columnas como filas.



B) Algoritmo infinito de Cantor:

Supongamos que el número de columnas es infinito numerable, y que el número de filas es también infinito numerable.[...]

¿Podemos construir de manera inequívoca una única sucesión infinita V[n], que difiere de todas las filas de nuestra tabla?

Desde un punto de vista matemático la respuesta es sí. Perdona, pero la respuesta es no.

Y es no precisamente porque es infinito. Tú puedes estar seguro de haber construído una sucesión que es diferente de cualquier cantidad k de filas, pero k nunca llega hasta el infinito y por lo tanto nunca estarás seguro de que la sucesión que estás construyendo es diferente al resto de filas que quedan más allá de K.


Por ello, dudar de esta construcción de Cantor sería, en definitiva, dudar de la construcción de los números naturales, y en ese caso creo que sería conveniente derivar la discusión a ese nivel, para poder enfocar mejor las sutilezas de tu objección. No estoy de acuerdo con esto. Yo estoy de acuerdo con la construcción de los números naturales, con quien no estoy de acuerdo es con quien piensa que se pueden recorrer TODOS los números naturales.

Los naturales no tienen un elemento mayor, no tienen fin, es IMPOSIBLE recorrer todos los naturales. Cualquier cosa que se haga por construcción puede llegar a cualquier k, pero es imposible que llegue hasta el final de los naturales. ¿Y porqué no puede llegar hasta el final? Pues porque no existe ese final.

Cantor con su diagonal y un ordenador con un algoritmo pueden constuir una cadena tan grande como nos dé la gana, e incluso hacer un k tan grande que nos acojonaría. Pero sea el k que sea, la cantidad de naturales recorridos es insignificante comparada que la cantidad que todavía le quedan por recorrer.



En cuanto a que no está en ninguna fila, una vez más me parece sencillo de establecer. El problema te surgirá cuando te demuestre que las matemáticas PERMITEN demostrar que sí está.


está obviando el hecho que de en un paso dado sólo calculas los primeros términos de V pero no los posteriores: no puedes comparar en base a incógnitas y obtener una respuesta segura. Me resulta terriblemente irónico pues ese es mi argumento. Yo no puedo hacerlo, ok, de acuerdo. Pero Cantor tampoco lo puede hacer, y un ordenador con un algoritmo ... tampoco puede hacerlo.

Tanto Cantor con su número misterioso, como tú con tu algoritmo, como yo con mis A_n, como fulanito con lo que le dé la gana ... NO podemos calcular los k primeros términos de algo infinito y pensar que hemos obtenido una respuesta segura despreciando toda la información (que necesitamos conocer para estar seguros) que hay en elementos que están más allá de esos k primeros términos.



Yo SÉ que 7/9 NO está ahí. Y estoy total y absolutamente convencido de que no está porque es IMPOSIBLE que esté. No obstante, voy a emplear esas horrorosas herramientas matemáticas "recorredoras del infinito" con las que no estoy de acuerdo para demostrar que 7/9 sí está ahí.

Pero aunque yo demuestre que está ahí, si lo hago NO es para convencer a nadie de que está sino que lo hago para demostrar que son falsas las herramientas que me permiten demostrar que sí está.



para ver dónde falla tu objección: estás aplicando el método de Cantor de manera adelantada, comparando el producto del paso k con una fila mucho mayor que k, cuando ése no es el procedimiento a seguir para construir V. Pero eso no es un fallo, es el fruto de mucho trabajo y esfuerzo.



Si por el contrario aplicas el método de Cantor para construir V, y luego comparas ese V con tu tabla, puedes ver que el vector obtenido no coincide con ninguna fila. Vamos a ver como lo digo sin que nadie se sienta ofendido, y te garantizo que es muy difícil hacerlo.

Pues no. No se me ocurre como puedo hacerlo.


Creo que la UNICA forma de mostrarte que estás equivocado, es olvidándome completamente de toda lógica y de todo razonamiento, y demostrarte con matemáticas que estás equivocado.

------------------

Entiendo que respondas las afirmaciones y razonamientos que he hecho en este mensaje, y si lo haces te garantizo que lo leeré. Y leeré tu mensaje con mucho detenimiento y atención. Pero desde ahora y hasta que publique mi demostración (ahora son las dos de la mañana y me llevará varias horas escribir la demostración) solo responderé asuntos matemáticos sobre la demostración en sí misma. (Un conjunto mal definido, una objeción a que tal conjunto represente tal cosa, un axioma quebrantado, si tal elemento pertenece o no pertenece a cual conjunto, etc.)

No te lo tomes a mal, ni como algo personal puesto que yo te aprecio y admiro tus conocimientos matemáticos, pero prefiero tener esta misma conversación sobre argumentos y metodología matemática cuando hayas comprendido por ti mismo que la teoría de conjuntos es errónea.

Te parecerán muy prepotentes por mi parte las palabras que acabo de decir. Lo entiendo, lo comprendo y, aunque parezca mentira, lo acepto de muy buen grado por que yo en tu lugar haría exactamente lo mismo. Solo te pido una cosa: dame tiempo para exponer mi demostración.

No es que yo te esté pidiendo "tiempo" en su sentido habitual (horas, minutos, días) sino que te pido que me respondas unas preguntas cuya respuesta preciso conocer para poder publicar la demostración:

¿Hay algún conjunto mal definido hasta ahora en mi demostración?
Esto es: ¿Están bien definidos los conjuntos A, A_n, B_n, J^r, K^r ?


Saludos.

leach
25/02/2006, 05:58
¿Hay algún conjunto mal definido hasta ahora en mi demostración?
Esto es: ¿Están bien definidos los conjuntos A, A_n, B_n, J^r, K^r ?
Por decirlo brevemente, en tanto puedas darme un elemento cualquiera de esos conjuntos, aceptaré que están bien definidios. O en otras palabras, aceptando que \mathbb{N} está bien definido, lo cual es una cuestión axiomática, esos conjuntos derivados a partir del mismo me parecen bien definidos.


A título más intuitivo, en tanto esos conjuntos pueden asociarse a funciones de \mathbb{N} en \mathbb{N} (es decir, están enumerados), me parece lícito considerarlos bien definidos.

Tomemos por ejemplo A, que es la unión de todos los A_n. En vista de que pueden enumerarse los elementos de A, en la forma: A = {0, 0.1, 0.2 ... 0.8, 0.9, 0.01, 0.02, 0.03 ... 0.98, 0.99, 0.001, 0.002, 0.003, ...} , me parecen perfectamente definidos: puedo construir cualquiera de sus elementos, y puedo localizar cada uno de sus elementos.


Si consideras que mis intervenciones te resultan molestas u ofensivas, no tendré ningún inconveniente en dejar de participar en el hilo. En principio lo hago para echar una mano, y como una muestra de respeto. Si el resultado no es ese, no tiene sentido que participe.

Un saludo.

Nexus 7
25/02/2006, 13:39
Hola.


Si consideras que mis intervenciones te resultan molestas u ofensivas, no tendré ningún inconveniente en dejar de participar en el hilo. En principio lo hago para echar una mano, y como una muestra de respeto. Si el resultado no es ese, no tiene sentido que participe. Perdona leach ¡PERO SI ES AL REVÉS!

Tú puedes decir lo que quieras que yo te lo agradeceré y te leeré muy atentamente, lo que no puedo hacer es responder. Y esto lo hago estensible a todos los usuarios de estos foros: Yo os agradeceré cualquier comentario, pero si yo no os respondo no os lo toméis a mal, es solamente porque estoy muy cohibido en este tema y no quiero parecer un troll y que alguno se rebote.

Pondré un ejemplo: Si a tu razonamiento (correctamente expuesto) yo te respondo que esa forma de pensar está basada en una metodología errónea y que una parte de las matemáticas es falsa y solo autosostenida por un cúmulo de falacias ... vosotros pensaréis que me he vuelto loco o que soy un troll. Y en el mejor de los casos que paulino se ha hecho con mi password de estos foros.

Por eso, Y SOLO POR ESO, yo prefiero no responder ciertas cosas y esperarme a que todos sepamos que hay una parte de las matemáticas que están mal. Y luego, tranquilamente y sin temor a decir cosas que os parecerían absurdas, discutir dónde está el fallo.

Ya sea el fallo que yo cometo en mi demostración, o sea el fallo de la metodología matemática actual.


Paso a redactar la demostración. La publicaré hoy sin falta.

Saludos.

Nexus 7
25/02/2006, 21:59
Mensaje borrado y reconstruído por un grave error de escritura. En algunos sitios aparecía "1/3" donde debería haber escrito "7/9". Mis disculpas si eso os ha causado algún inconveniente, pero es que esta demostración la había tratado muchísimas veces con el racional 1/3 y al hacerlo hoy, se me ha ido la olla y he mezclado un trozo con 7/9 y otro con 1/3

Posteriormente, Ronin mostró en un mensaje que aparece más abajo que había cometido un error en este mensaje y las afirmaciones L_1 \subset A no podían ser ciertas porque L_i es un conjunto NxN y A es un conjunto cuyos elementos son números reales. Para corregir este error, junto a la definición de L_i (que es un conjunto \mathbb{N}\times\mathbb{N}) definiré el conjunto K (que es un conjuntol NxN)

Sea K \ = \ \{(n, f(r_n) \ | \ r \in A \}

Sea K' \ = \ \{K^{x} \ | \ x \in A \}

Enumeramos el conjunto A pero en vez de enumerar sus elementos en forma de número en formato real, lo haremos enumerando los K^r tal que r \in A Esto es, enumeramos el conjunto K' siguiendo el mismo orden con el que enumeramos A


Sea L_i = \{(n, 7) \ | \ n \le i \}

L_1 \subset \textcolor{red}{K} \\
L_2 \subset \textcolor{red}{K} \\
L_3 \subset \textcolor{red}{K} \\
L_n \subset \textcolor{red}{K}
...
...

\bigcup_{i = 0}^{\infty} L_i \subset \textcolor{red}{K}

\{(n, 7) \ | \ n \ge 1 \} \ \subset \textcolor{red}{K}

J^{7/9} = \{(n, 7) \ | \ n \ \ge 1 \}

J^{7/9} \subset \textcolor{red}{K}

El conjunto formado por el conjunto de TODOS los decimales de 7/9 está incluído en K.


Yo personalmente no estoy de acuerdo con que la unión de todos los L_1 sean el conjunto de los dígitos de 7/9 porque todos los subconjuntos de la unión son finitos mientras que el conjunto de los dígitos de 7/9 es un conjunto infinito, pero ... esto mismo es lo que hace Cantor cuando dice que N \subset \cup N_i \ | \ i \ge1

Saludos.


Editado: Veo que este mensaje es el primero de la segunda página. Publiqué un mensaje que ha quedado en la página anterior.

Post Edicción: Las partes editadas a partir de la observación de Ronin aparecen en rojo. Lamento el error, pero más lamento la chapuza que dejo.

Nexus 7
28/02/2006, 15:19
Hola.

Me temo que en esta demostración no he conseguido hacer ver que las matemáticas permiten demostrar que A contiene todos los números reales (racionales o no) del intervalo [0,1]. Bueno, adaptaré la demostración para demostrar que sí está cualquier número real (racional o irracional) de dicho intervalo.

Sea x el número real del intervalo [0, 1] que queremos demostrar que sí está en A. Como por ejemplo x = \pi -3

Enumeramos el conjunto A pero en vez de enumerar sus elementos en forma de número en formato real, lo haremos enumerando los K^r tal que r \in A. Esto es, enumerando el conjunto K'


Sea L_i = \{(n, f(x_n) \ | \ n \le i \}

L_1 \subset K \\
L_2 \subset K \\
L_3 \subset K \\
L_n \subset K
...
...

\bigcup_{i = 0}^{\infty} L_i \subset K

\{(n, f(x_n) \ | \ n \ge 1 \} \ \subset K

J^{x} = \{(n, f(x_n) \ | \ n \ \ge 1 \}

J^{x} \subset K

El conjunto formado por el conjunto de TODOS los decimales del número x (racional o irracional) está incluído en K.


Saludos.

Nexus 7
28/02/2006, 17:33
Hola.

Mientras que estuve repasando durante un año mis demostraciones encontré varios posibles inconvenientes, y aunque ya los he solucionado me gustaría exponéroslos aquí para que también podáis repasarlos y, tal vez, que encontréis algún nuevo inconveniente que a mi se me haya pasado.

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Las cuestiones son:

1ª Que exista UN CONJUNTO incluído en K ... ¿IMPLICA o NO IMPLICA que dicho conjunto sea a su vez UN ELEMENTO de la enumeración?
Esto es: que el conjunto de los decimales de x esté incluído en K implica o no implica que exista un K^x en la enumeración de K.
\textcolor{red}{¿K^r \subset K \quad \Longrightarrow^? \quad K^r \in K'}

2º Que exista un elemento K^x en la enumeración de K' ... ¿IMPLICA O NO IMPLICA que x \in A?

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Por brevedad, trataré primero la segunda cuestión: La enumeración de K se hace enumerando los diferentes K^r tal que r \in A. Esto es, se producen estas dos afirmaciones:

\forall x \in A \ \exists \ K^y \in K' \ | \ x=y

K^r \not \in K' \ si \ r \not \in A

De las que podemos obtener esta otra afirmación: K^r \in K' \ \Longleftrightarrow r \in A

Dicho en plata, la existencia de un r que ha sido enumerado en K' IMPLICA que r sí es un elemento perteneciente a la enumeración de A


La primera cuestión, por ser algo más compleja, la dejaré para un mensaje exclusivo que me pongo a redactar y publicaré un cuanto lo tenga terminado.


Saludos.

Nexus 7
01/03/2006, 14:48
Hola.

La cuestión a abordar en este mensaje es: Que exista un conjunto incluído en K ... ¿IMPLICA o NO IMPLICA que dicho conjunto sea a su vez un elemento de la enumeración?
Esto es: que el conjunto de los decimales del número x esté incluído en K, ¿implicará, o no implicará que exista un K^x en la enumeración de K?


Tal vez debería explicar el porqué creo importante esta cuestión, y para ello nada mejor que un ejemplo:
Enumeremos el conjunto de los decimales de 0,12 y 0,34
K^{0.12} \ = \ \{(1, 1), (2, 2)\}
K^{0.34} \ = \ \{(1, 3), (2, 4)\}

Z \ = \ \{ K^{0.12}, K^{0.34}\}

Z' \ = \ K^{0.12} \cup K^{0.34} \quad = \quad \{(1,3), (1,1), (2,2), (2,4)\}

\{(1, 3), (2, 2)\} \subset Z'

K^{0.32} \ = \ \{(1, 3), (2, 2)\}

K^{0.32} \subset Z'

Pero K^{0.32} \not \in Z

Esto es, el conjunto de los decimales de 0,32 está incluído en la unión de los elementos de los diferentes conjuntos enumerados sin necesidad de haber sido enumerado como un elemento.


Aparentemente, esta demostración tira por tierra mi enumeración del intervalo [0,1] puesto que el hecho de que el conjunto de los decimales de \pi-3 esté incluído en la unión de diferentes K^x, no implica por sí solo que K^{\pi-3} esté ahí como consecuencia de haber realizado la enumeración del conjunto K^{\pi-3}

Así pues, es inprescindible que demuestre que si K^{\pi-3} \subset K es porque se realizó su enumeración. Esto es, tengo que demostrar que en mi conjunto es cierta la siguiente proposición:


K^{\pi-3} \subset \left\{ \cup_{r \in A} \ K^r \right\} \quad \Longrightarrow \quad K^{\pi-3} \in K

nota: supongo que habré cometido algún error de escritura. Espero que lo hayais entendido pese a que ocurra. Si ha ocurrido espero que me indiquéis como debería haberlo escrito para corregirlo.

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Pese a saber que esa implicación era verdadera porque mi conjunto no dejaba ninguna combinación sin enumerar, esta cuestión me tuvo intranquilo durante varios meses porque la demostración, aunque considero que es válida, no me parecía lo suficientemente inteligible por ser una concatenación de reducciones al absurdo. Y eso es difícil de entender. Veamos si soy capaz de hacerla entendible:

La cantidad de combinaciones diferentes que pueden dar lugar a un K^r tal que r \in \{A_0, A_1\} son 10, y como #\{A_0, A_1 \}=10, no puede existir ningún subconjunto incluído en A_0\cup A_1 que represente a un r y que dicho r no pertenezca a \{A_0, A_1 \}

La cantidad de combinaciones diferentes que pueden dar lugar a un K^r tal que r \in \{A_0, A_1, A_2\} son 100, y como #\{A_0, A_1, A_2 \}=100, no puede existir ningún subconjunto incluído en A_0\cup A_1\cup A_2 que represente a un r y que dicho r no pertenezca a \{A_0, A_1, A_2 \}

Para todo n \in \mathbb{N}, la cantidad de combinaciones diferentes que pueden dar lugar a un K^r tal que r \in \{A_0, A_1, ... A_i\} \ | \ i \in \mathbb{N} son 10^i, y como #\{A_0, A_1, ... A_i\} \ | \ i \in \mathbb{N} \ = \ 10^i, no puede existir ningún subconjunto incluído en A_0\cup A_1\cup A_2 \cup \cdots que represente a un r y que dicho r no pertenezca a \{A_0, A_1, A_2, \cdots \}


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Pero el otro día se me ocurrió esta otra demostración que espero que sea lo suficientemente entendible y rotunda hasta para los más exigentes.

Recordemos estas definiciones:

Sea x el número real del intervalo [0, 1] que queremos demostrar que sí está en A. Como por ejemplo x = \pi -3 (que es un irracional y que en teoría tiene tantos decimales como elementos tiene N)

Sea L_i = \{(n, f(x_n) \ | \ n \le i \}

Sea L \ = \ \bigcup_{i = 0}^{\infty} L_i

L_1 = K^{0.1}, L_1 \in K

L_2 = K^{0.14}, L_2 \in K

L_3 = K^{0.141}, L_3 \in K

L_4 = K^{0.1415}, L_4 \in K

L_5 = K^{0.14159}, L_5 \in K

L_6 = K^{0.141592}, L_6 \in K
...
...

Si L^x \in \{L_1, L_2, L_3, L_4, ....\} \ \Longrightarrow \ L^x \in K

Esto es: Si \pi-3 es un elemento de la siguiente enumeración
0,1
0,14
0,141
0,1415
0,14159
0,141592
...
Entonces \pi-3 es un elemento que pertenece a la enumeración de todos los K^r tal que r \in A



DEMOSTRACIÓN POR REDUCCIÓN AL ABSURDO DE QUE K^x \in L

1º Supondré que K^x \in L es falso.
2º Suponiendo que es verdad la negación de la proposición inicial, y empleando métodos válidos, llegaremos a una contradicción con dicho supuesto o con alguna otra afirmación aceptada como verdadera.
3º La contradicción obliga a que la negación de la proposición inicial sea falsa, luego la proposición inicial es verdadera.

K^x \not \in L es verdadero.

[1].- K^x \not \in L \ \Longrightarrow \ \not \exists \ L_i \in L \ | \ L_i = K^x

[2].- \forall \ (n,f(r_n)) \in L_i \in L, \ (n, f(r_n)) \in L_m \ \forall \ m>n

[1] [2] \ \Longrightarrow \ \exists \ (n, f(r_n) \in K^x \ | \ (n, f(x_n)) \not \in L_i \ \forall \ L_i \in L \ \Longrightarrow \\
\exists \ (n, f(x_n)) \in K^x \ | \ (n, f(x_n) \not \in L \ \Longrightarrow \ K^x \not \subset L

En plata:
[1].- Que si K^{\pi-3} no es un elemento de la enumeración que puse algo más arriba, implica que K^{\pi-3} no es igual a ningún L_i (algo que supongo que verán muy obvio todo el mundo menos mefistófeles y yo)

[2].- Que todos los n primeros decimales de todos los n primeros números de esa enumeración, también son decimales de todos los números que se enumeran luego.

[3]. Las dos afirmaciones anteriores implican que para que sea cierto que K^{\pi-3} \not \in L, es imprescindible que K^{\pi-3} tenga algún decimal que no tiene NINGÚN elemento de dicha enumeración. Como consecuencia de esta última afirmación, el conjunto de los decimales de \pi -3 no está incluído en el conjunto unión de todos los números que están en la lista.


Como sabemos que la afirmación K^x \not \subset L es falsa porque:
K^x = \{(n, f(x_n) \ | \ n \in N \} \subset L

Entonces K^{\pi-3} \not \in L es falsa y por lo tanto K^{\pi-3} \in L es verdadera.

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Como para todo r del intervalo [0,1], existe un K^x \subset K tal que r=x, y eso implica (por lo que acabo de demostrar) que K^r es un elemento perteneciente a la enumeración de todos los K^r tal que r \in A, y eso implica (por lo que demostré en el mensaje anterior) que r \in A ...

1º Todo r del intervalo [0, 1] \in A
2º La enumeración de [0, 1] es completa.
3º El conjunto formado por todos los r tal que 0 \le r \le 1, es un conjunto enumerable.


Saludos.

Nexus 7
01/03/2006, 18:02
Una vez realizada la enumeración del intervalo [0,1], hacer una enumeración de todos los números reales positivos es trivial conociendo la enumeración de \mathbb{Q}. Tan simple como una suma cartesiana entre el conjunto del intervalo [0,1] y el conjunto de los enteros no negativos.


En el eje horizontal se enumera el conjunto {0} U N de menor a mayor valor aritmético. {0,1,2,3,4,5,...}

En el eje vertical se realiza la enumeración del intervalo [0,1]. {0, 0.1, 0.2, 0.3, ...}

Y nos queda algo tal que así:

\begin{tabular}{c|c c c c c c} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots \\
\hline 0 & 0.0 & 1.0 & 2.0 & 3.0 & 4.0 & \cdots \\
0.1 & 0.1 & 1.1 & 2.1 & 3.1 & 4.1 & \cdots \\
0.2 & 0.2 & 1.2 & 2.2 & 3.2 & 4.2 & \cdots \\
0.3 & 0.3 & 1.3 & 2.3 & 3.3 & 4.3 & \cdots \\
0.4 & 0.4 & 1.4 & 2.4 & 3.4 & 4.4 & \cdots \\
0.5 & 0.5 & 1.5 & 2.5 & 3.5 & 4.5 & \cdots \\
0.6 & 0.6 & 1.6 & 2.6 & 3.6 & 4.6 & \cdots \\
0.7 & 0.7 & 1.7 & 2.7 & 3.7 & 4.7 & \cdots \\
0.8 & 0.8 & 1.8 & 2.8 & 3.8 & 4.8 & \cdots \\
0.9 & 0.9 & 1.9 & 2.9 & 3.9 & 4.9 & \cdots \\
0.01 & 0.01 & 1.01 & 2.01 & 3.01 & 4.01 & \cdots \\
0.02 & 0.02 & 1.02 & 2.02 & 3.02 & 4.02 & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\
\end{tabular}

Y se enumeran siguiendo las mismas diagonales que para \mathbb{Q}. Esto es, se empieza en el elemento 0.0 y se van siguiendo las diferentes diagonales que descienden hacia la izquierda.

Algo más o menos como esto:

\begin{tabular}{c|c c c c c c} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots \\
\hline 0 & \textcolor{red}{0.0} & \textcolor{blue}{1.0} & \textcolor{yellow}{2.0} & \textcolor{green}{3.0} & 4.0 & \cdots \\
0.1 & \textcolor{blue}{0.1} & \textcolor{yellow}{1.1} & \textcolor{green}{2.1} & 3.1 & \textcolor{red}{4.1} & \cdots \\
0.2 & \textcolor{yellow}{0.2} & \textcolor{green}{1.2} & 2.2 & \textcolor{red}{3.2} & \textcolor{blue}{4.2} & \cdots \\
0.3 & \textcolor{green}{0.3} & 1.3 & \textcolor{red}{2.3} & \textcolor{blue}{3.3} & \textcolor{yellow}{4.3} & \cdots \\
0.4 & 0.4 & \textcolor{red}{1.4} & \textcolor{blue}{2.4} & \textcolor{yellow}{3.4} & \textcolor{green}{4.4} & \cdots \\
0.5 & \textcolor{red}{0.5} & \textcolor{blue}{1.5} & \textcolor{yellow}{2.5} & \textcolor{green}{3.5} & 4.5 & \cdots \\
0.6 & \textcolor{blue}{0.6} & \textcolor{yellow}{1.6} & \textcolor{green}{2.6} & 3.6 & \textcolor{red}{4.6} & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\
\end{tabular}


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---------------

Una vez que tenemos una enumeración de todos los reales positivos, enumerar \mathbb{R} es tan trivial como enumerar todos los enteros:
{el 0, primer positivo, primer negativo, segundo positivo, segundo negativo, tercer positivo, tercer negativo, ...}




Pues ya está la enumeración de \mathbb{R} y creo haber terminado los 3 puntos más importantes de mi tontiteoría.

Si no veis ningún fallo, me acabo de cargar el sistema matemático llamado "Teoría de conjuntos".

:h:

Nexus 7
01/03/2006, 23:36
Mientras los entendidos en matemáticas se pronuncian (para saber si mando imprimir o no) me gustaría exponer otra cuestión que, si bien es una vulgar adaptación de mi última demostración, me gustaría publicarla por los siguientes motivos:

1º Al ser más sencilla, tal vez sea muy útil para entender mi última demostración.

2º Por sí sola, desbarata la mayoría de los teoremas de Cantor.

3º Desde que me puse en serio con todo esto, esta afirmación fue la primera afirmación matemática con la que no estuve de acuerdo y que no era ningún error de mi oponente.

4º Y más importante SI NO ESTÁS DE ACUERDO CON ESTA DUALIDAD, TODO EL PUNTO 3 (Una enumeración de los números reales) TE PARECERÁ UNA PÉRDIDA DE TIEMPO. A a a aaaabuenas horas lo dices, pero es que me acabo de dar cuenta de ello. Sorry.

------------------------------------

Sea esta lista de sucesiones:
{1}
{1, 2}
{1, 2, 3}
{1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3, 4, 5}
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
...
...
...

Cantor afirmó que N no era un elemento de dicha lista. Y basó su afirmación en que no podía pertenecer a dicha lista porque todos sus elementos eran conjuntos finitos mientras que N es un conjunto infinito. Algo lógico y normal si aceptamos que el cardinal de N es infinito.

No obstante, Cantor también afirmó que N sí estaba incluído en la unión de todos esos conjuntos porque N no tiene ningún elemento que no pertenezca a dicha unión. Algo completamente ilógico y totalmente descabellado si ya habíamos aceptado previamente que N es infinito mientras que todos los elementos de esa lista son finitos. Aceptar ambas afirmaciones es absurdo porque estaríamos aceptando que un conjunto infinito se puede acabar viendo envuelto entre conjuntos finitos.

El argumento de que o bien N es un elemento de esa enumeración, o bien N no está incluída en esa enumeración es el siguiente:

O bien SÍ existe uno de esos elementos enumerados con el cual se obtiene que N es un subconjunto de dicho elemento (y por lo tanto N sería un elemento de dicha lista).

O bien NO existe dicho elemento y por lo tanto N tiene algún n que no está incluído en ningún elemento de esa lista. Si N tiene algún n que no tiene ningún elemento de la lista, entonces N no estará incluído en la unión de todos esos N_x que no contienen ese n que hace que N no sea un subconjunto de ninguno de ellos.


------------------

Para conjugar bien todo esto con la condición de que todo elemento de la enumeración está incluído en los siguientes, lo mejor es volver a recurrir al ejemplo de las muñecas rusas:

Dentro de la muñeca más pequeña hay un papel marcado con el 1.
Entre la segunda y la primera hay otro papel con el 2.
Entre la tercera y la segunda hay otro papel con el 3.
Entre la cuarta y la tercera hay otro papel con el 4.
....

Y de esto se obtiene que:
La muñeca más pequeña contiene el 1.
La segunda muñeca contiene el 1 y el 2.
La tercera muñeca contiene el 1, el 2 y el 3.
La cuarta muñeca contiene el 1, el 2, el 3, y el 4.
...

Y entonces tenemos que:

O bien todos los n de N están dentro de alguna muñeca.
O bien N tiene algún n que no está en ninguna muñeca.

-------------------------
-------------------------

Si estás de acuerdo con que puede darse alguna de ellas (cualquiera), o las dos a la vez, o solo una de esas dos opciones (da igual cual de ellas), o no sabes cual es cierta pero sabes que una afirmación invalida la otra, entonces te invito a que leas con detenimiento mis mensajes y preguntes o digas lo que quieras.

Si no estás de acuerdo con ninguna de ellas y crees que una de ellas no invalida a la otra, no te molestes en intentar entender mi enumeración de R y te invito a que expongas cual es la otra alternativa que ves.


Saludos.

Ronin
04/03/2006, 01:12
Buenas,
aquí estoy yo otra vez adicto a la lectura de estos post, esta vez con algo más de tiempo para echarle un vistazo, a ver planteo mis dudas para poder entender bien lo que escribes:


En primer lugar hay un abuso de notación yo creo, ya que en principio los conjuntos A_i son conjuntos de números reales, digamos, expresados en forma decimal, y los conjuntos

K^{x}, J^{x}

son conjuntos de pares ordenados,

desde luego intuitivamente podemos identificar cada número decimal con uno del los conjuntos

K^{x} o
J^{x}

pero no podemos decir que

K^{x} \subset A


Por otro lado no entiendo muy bien a que te estás refiriendo con el conjunto K, te refieres a


K \ = \ \{K^{x} \ | \ x \in A \}

¿?

En cuanto a tu demostración:

Si tenemos que fijado un x del intervalo [0,1]

L \ = \ \bigcup_{i = 0}^{\infty} L_i


Siendo cada L_i el conjunto que podríamos identificar con un número real que se obtiene a partir de x pero quedándonos sólo hasta el decimal i - ésimo, es decir que es
L_1 el que tiene hasta el primer decimal
L_2 el que tiene hasta el segundo decimal
......
etc

Si suponemos

K^x \not \in L

como cierto esto no implica que

\not \exists \ L_i \in L \ | \ L_i = K^x

sino que esto implica que

\not \exists \ L_i \ | \ K^x \in L_i

De todos modos tampoco tendría formalmente mucho sentido la expresión

K^x \not \in L


pues

K^x

y L

son conjuntos de pares ordenados

y decir que

K^x \not \in L

o que

K^x \not \in L

tendría algún significado si

K^x

fuese un par ordenado


Pero eso son más cuestiones formales de notación que otra cosa, nada que decir por ahora respecto del contenido de lo que quieres demostrar.

En cuanto al significado de lo que quieres demostrar entiendo lo siguiente:

Afirmación (1)

[1].- K^x \not \in L \ \Longrightarrow \ \not \exists \ L_i \in L \ | \ L_i = K^x

Significaría, teniedo en cuenta lo que es cada conjunto,

que si el número real x no pertenece a L (que de algún modo creo que te refieres a lo que sería la colección de todos los números que se obtienen a partir de x pero quedándonos con una cantidad finita de decimales de él). entonces no es ninguno de los números que se obtendrían quedándonos con tan solo una cantidad finita de decimales de x

Afirmación (2)

[2].- \forall \ (n,f(r_n)) \in L_i \in L, \ (n, f(r_n)) \in L_m \ \forall \ m>n

Fijada una cantidad finita i de decimales de x

dado uno de los decimales de uno de los números que se obtienen a partir de x pero quedándonos con una cantidad finita de decimales de x menor que i, entonces ese decimal también es uno de los cualesquiera númeroa que se obtienen a partir de x pero quedándonos con una cantidad finita de decimales de x contando a partir de la posición del decimal dado

Afirmación (3):

por las afirmaciones (1) y (2) existe un decimal de x tal que no pertenece a ninguno de los números que se obtienen a partir de x pero quedándonos con una cantidad finita de decimales de x


Creo que es claro que (3) no se deduce de (1) y (2) ya que es claro que

\pi-3

es un número que cumple (1) y (2)
pero que no cumple (3), no cumple (3) ya que todo decimal de ese número si que es uno de los decimales de un número que se obtiene a partir de él pero quedándonos tan sólo con una cantidad finita de sus decimales.


Si lo que tratabas de exponer significaba eso (cosa que es más que probable que haya interpretado mal debido a no haber entendido la notación) esa sería una posible objección.

Si me puedes aclarar estas dudas a ver si me puedo enterar un poquillo

Gracias
Saludos

Nexus 7
04/03/2006, 04:23
Hola.

Hombre, menos mal que alguien responde, estaba empezando a coger complejo de troll condenado al ostracismo.


En primer lugar hay un abuso de notación yo creo, ya que en principio los conjuntos A_i son conjuntos de números reales, digamos, expresados en forma decimal, y los conjuntos

K^{x}, J^{x}

son conjuntos de pares ordenados,

desde luego intuitivamente podemos identificar cada número decimal con uno del los conjuntos

K^{x} o
J^{x}

pero no podemos decir que

K^{x} \subset A Correcto.

En los mensajes 1 y 2 de esta segunda página hago eso, pero es evidente que me equivoqué al hacerlo. Debí haber definido K (que repasando tu siguiente nota he visto que no lo hice) y donde escribí A en esos dos mensajes debería haber escrito K



Por otro lado no entiendo muy bien a que te estás refiriendo con el conjunto K, te refieres a

K \ = \ \{K^{x} \ | \ x \in A \}

¿? Si y no. No sabía como hacerlo pues ya dije al principio que apenas si sé definir formalmente un conjunto, pero gracias a tu comentario ya sé como expresar correctamente mis ideas.

Originalmente me refería a esto: K \ = \ \{(n, f(r_n) \ | \ r \in A \}

Y por eso escribí cosas como
Así pues, es inprescindible que demuestre que si K^{\pi-3} \subset K es porque se realizó su enumeración. Pero no sabía como definir un conjunto cuyos elementos son a su vez conjuntos. Y tú acabas de definir perfectamente la idea que yo quería transmitir.

No saber definir ese conjunto me llevó a escribir esto: K^{\pi-3} \subset \left\{ \cup_{r \in A} \ K^r \right\} \quad \Longrightarrow \quad K^{\pi-3} \in K

Donde en la primera parte, { \cup_{r \in A} es el que el conjunto NxN que acabo de definir; y en la segunda es el K que tú defines. Y ahora que dices esto, compruebo que con el conjunto L (que es un subconjunto de K) me ocurre el mismo problema de definición impropia.


Como considero que las objeciones que pones son muy importantes, mañana reconstruiré las 3 demostraciones desde principio a fin. No obstante, me gustaría hacer algún comentario a tus comentarios.

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Si suponemos K^x \not \in L como cierto esto no implica que

\not \exists \ L_i \in L \ | \ L_i = K^x Sí lo implica, y es una verdad de perogrullo pero que necesito. Lo diré en castellano para entendernos:

Si júpiter no es un elemento de Z, implica que ningún elemento de Z es júpiter.



Afirmación (2)

[2].- \forall \ (n,f(r_n)) \in L_i \in L, \ (n, f(r_n)) \in L_m \ \forall \ m>n

Fijada una cantidad finita i de decimales de x No, lamento no haberme sabido expresar. Lo diré en castellano.

Todos los decimales de un conjunto cualquiera perteneciente a L, también son decimales que están en todos los conjuntos de cardinal superior a dicho conjunto cualquiera.


Afirmación (3):

por las afirmaciones (1) y (2) existe un decimal de x tal que no pertenece a ninguno de los números que se obtienen a partir de x Casi, casi.

Si ningún elemento es x, y dado que unos elementos están encajados en otros, entonces existe al menos un decimal de x que no pertenece a ninguno de los elementos.



con tan solo una cantidad finita de decimales [...] Fijada una cantidad finita i [...] pero quedándonos con una cantidad finita de decimales de x [...] Ronin, sé que lo sabes, pero es que todas las cantidades son finitas puesto que infinito no es una cantidad. Entiendo perfectamente que esgrimas que todos los cojuntos K^r de L sean de cardinal finito mientras que K^{\pi-3} es un conjunto de cardinal infinito, pero Cantor no tiene ningún inconveniente en blincarse la dualidad finito-infinito cuando envuelve un conjunto infinito dentro de conjuntos finitos N \subset N_i \ | \ i \ge 1. Si él no hace ascos a la finitud-infinitud, nosotros tampoco deberíamos tomarlo en cuenta.

No obstante, entiendo que para tí sí sea una cuestión fundamental y espero hacerte ver que eso te llevará inevitablemente a un absurdo.


Yo ahora (bueno, mañana) voy a rehacer las 3 demostraciones definiendo correctamente K y L. Pero creo IMPRESCINDIBLE que me respondas la siguiente cuestión que tarde o temprano tendremos que abordar:

Ante la pregunta ¿existe algún L_i que tenga todos los elementos de K^{\pi-3}? Daré por presupuesto que tu respuesta es no, y la cuestión es ...

¿Porqué? Y no hablo de cardinales, sino que hablo de elementos y de conjuntos que contienen elementos. ¿Acaso existe algún decimal de pi que no esté en ningún L_i?


Aunque tal vez avancemos mucho más si me respondes si consideras verdadera o falsa la siguiente proposición.

\forall \ i \in N \ \exists \ (n, f(x_n)) \in K^{\pi-3} \ | \ (n, f(x_n)) \not \in L_i

Si no me he equivocado, se lee así:

Para todo i \in N, existe un decimal de \pi-3 tal que dicho decimal no pertenece a L_i


Que añadiendo las coletillas finitas-infinitas, sería algo así como ... «Para todo i, que es una cantidad finita, existe un decimal de pi que no pertenece a L_i»


Si me puedes aclarar estas dudas a ver si me puedo enterar un poquillo Y yo, más contento que unas castañuelas. Muchas gracias por molestarte en indicar tus objeciones.


Saludos.

Ronin
04/03/2006, 16:49
Buenas,

bien te respondo a tus preguntas:


¿existe algún L_i que tenga todos los elementos de \pi-3 ?

yo diría que no, y respondiendo intuitivamente, diría que no porque el número \pi-3 tiene una "cantidad" infinita de decimales mientras que el número que representaría cuanquier L_i tendría una cantidad finita.

Estoy de acuerdo con que infinito no representa una cantidad como lo hacen los números naturales, efectivamente, con esa frase me refiero a que el cardinal del conjunto de decimales de ese número no es finito, es decir que el conjunto de sus decimales es infinito.

Formalmente en la teoría de conjuntos lo demostraría del siguiente modo:

Supón que si que algún L_i , tuviese todos los pares ordenados que representan a los decimales del número \pi-3 ,

hay un resultado que dice que un número real x

es un número racional si y sólo si el conjunto de sus decimales es finito o bien el número es periódico

un número real es periódico, significa que el conjunto de los decimales es infinito pero que estos se repiten en bloques cada cierto número de ellos.

Si \pi-3 es tal que hay un L_i conteniendo a todos sus decimales, debido a que cada L_i es finito, eso querría decir que el conjunto de los decimales de \pi-3 es finito y por el resultado ya mencionado esto significaría que \pi-3 es un número racional, de donde tendríamos que entonces \pi es un número racional.

Hay varias pruebas de donde se deduce que \pi es irracional, por lo que tendríamos una contradicción.



Por tanto ocurre que no hay ningún L_i que contenga todos los decimales de
\pi-3

Si es cierto que dado un decimal de \pi-3 este lo puedas encontrar en algún L_i, eso es evidente.



\forall \ i \in N \ \exists \ (n, f(x_n)) \in K^{\pi-3} \ | \ (n, f(x_n)) \not \in L_i


esta proposición es que dado un L_i fijo existe un decimal de \pi-3 tal que no está en L_i, es lo mismo que acabo de demostrar antes.


Lo de

Si suponemos como cierto K^x \not \in L esto no implica que

\not \exists \ L_i \in L \ | \ L_i = K^x

Si es cierto que significaría lo que dices, lo que pasa es que los elemetos de L no son los L_i, por eso no tenía mucho significado decir que

L_i \in L

Yo me refería a que si tienes una unión de conjuntos tal que un elemento no pertenece a ella, tal y como ocurría en ese caso

K^x \not \in L

y


L \ = \ \bigcup_{i = 0}^{\infty} L_i

entonces decir que un elemento no pertenece a

\ \bigcup_{i = 0}^{\infty} L_i

es decir que no existe ningún L_i al que pertenezca

no decir que no existe ningún L_i con el que coincida como había escrito. No me expresé muy bien.


Ya pillo lo que es K, el conjunto de todos los decimales de cada uno de los elementos de A, ok.

Saludos

Nexus 7
06/03/2006, 00:41
Hola.

Bueno, ya he editado los primeros mensajes de esta página adaptándolas a tus observaciones.

Los conjuntos quedan así:

K \ = \ \{(n, f(r_n) \ | \ r \in A \} que es el conjunto K que yo tenía en mente inicialmente.

K' \ = \ \{K^{x} \ | \ x \in A \} que es el conjunto que tú definiste y que yo no supe definir.

L_i = \{(n, f(x_n) \ | \ n \le i \} No sufre ninguna variación. Sigue siendo el conjunto de los i primeros decimales del número real x

L no sufre alteración y se queda como la unión de todos los L_i.

L' \ = \ \{K^r \ | \ K^r = L_i \ \forall i \in N \} que es el conjunto cuyos elementos son todos los diferentes L_i. Esto es, si estamos tratando el caso en el que x=\pi-3, entonces los elementos de L' son los conjuntos que asimilamos a los reales 0.1, 0.14, 0.141, 0.1415, 0.14159, ...



Como ambos hemos comprendido como es la demostración aun cuando falte su formalización, creo que la redacción formal puede esperar algunas horas y mientras tanto nosotros podemos seguir tratando la cuestión principal K^r \subset K \quad \Longrightarrow^? \quad K^r \in K' que no es otra cosa que si N es un elemento o no es un elemento de \cup N_i \ | \ i \ge 1 cuando aceptamos que N sí está incluido en dicha unión.


bien te respondo a tus preguntas:
¿existe algún L_i que tenga todos los elementos de \pi-3 ?

yo diría que no, y [...] es decir que el conjunto de sus decimales es infinito. Bueno, es lógico que argumentes así, pero yo esperaba que tal vez me sorprendieras argumentando con alguna cuestión \in \ o \ \subset que yo no conociera o que se me hubiera pasado por alto.

Reconozco que la cardinalidad es una cuestión fundamental en esta cuestión para cualquier matemático que acepte la teoría de conjuntos, pero a mi no me dice nada porque tengo un concepto muy diferente de los conjuntos infinitos. No obstante, ni expondré mi concepto al respecto (sería irrisorio si de esa forma te convenciese de la inconsistencia de la teoría de conjuntos) y ADEMÁS, acepto tus argumentos y acepto que esas demostraciones son válidas y que gracias a ellas podemos demostrar dentro de la teoría de conjuntos que N \not \in \cup N_i


Formalmente en la teoría de conjuntos lo demostraría del siguiente modo:

Supón que si que algún L_i , tuviese todos los pares ordenados que representan a los decimales del número \pi-3 [...] de donde tendríamos que entonces \pi es un número racional. También estoy liado con el tema "anti-pitagórico", pero esperaba reservar el análisis matemático con la confianza de que podré convencerte de las inconsistencias matemáticas de la teoría de conjuntos empleando únicamente cuestiones exclusivas de ella.


Hay varias pruebas de donde se deduce que \pi es irracional, por lo que tendríamos una contradicción. Exactamente, y es lo que estoy intentando mostrarte: Una contradicción.

Si queremos tener una conversación en vez de dos monólogos, ambos deberemos tener en cuenta lo siguiente: yo no estoy demostrando que \pi sea un racional exacto, sino que intento demostrar que la teoría de conjuntos es inconsistente.

Si yo intentase demostrar que pi no es un irracional, bastaría con que tú me demostraras que sí es un irracional para que yo tuviera que reconocer que estoy equivocado. Pero no es así porque yo no digo que pi sea un racional.

Aceptemos que pi es un irracional, pero para ver si existe o no existe contradicción tenemos que ver si mi demostración es válida o no es válida. Si es válida hay una contradicción, y si no es válida no hay ninguna contradicción.

Esto es, creo que solamente debemos perder energía comprobando si mi demostración es o no es una demostración válida.

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Veamos, tenemos que [1].- K^x \not \in L' \ \Longrightarrow \ \not \exists \ L_i \in L' \ | \ L_i = K^x con la que ambos ya estamos de acuerdo sobre su veracidad. Yo la necesito porque como L_i \subset N, y N \not \subset L_i, para todo i; entonces siempre existe algún n que no pertenece a ningún L_i cuando analizamos los L_i uno a uno.

Esto es, con ello obtenemos la afirmación \forall \ i \in N \ \exists \ (n, f(x_n)) \in K^{\pi-3} \ | \ (n, f(x_n)) \not \in L_i que tú interpretas como «esta proposición es que dado un L_i fijo existe un decimal de \pi-3 tal que no está en L_i, es lo mismo que acabo de demostrar antes.»


Ahora ya podemos construir un silogismo (esto: "a>b; b>c ---> a>c" es un silogismo, y quebrantar un silogismo conlleva su inevitable demostración por reducción al absurdo) con infinidad de ejemplos sencillos que nos ayudarán a comprenderlo y comprobar su validez.

Ejemplo:
Dada la preposición «Ningún usuario de estos foros tiene la colección completa de monedas de euro»
Es una falacia afirmar «la unión de todas las colecciones no forma una colección completa».

Y es una falacia porque es posible que a mi me falten muchas y a ti pocas, pero las pocas que yo tengo tal vez sean precisamente las que te faltan. Y entonces es posible que tu colección y la mía juntas si formen una colección completa.

Tal vez sí, o tal vez no; no sabemos si la conclusión es verdadera o falsa, simplemente sabemos que desconocemos su veracidad.

------------------

Tenemos [2].- \forall \ (n,f(r_n)) \in L_i \in L', \ (n, f(r_n)) \in L_m \ \forall \ m>n

Esta afirmación indica que TODOS los elementos están encajados unos en otros. Esto es, que todos los elementos de L_10 pertenecen a L_24. Y por lo tanto, también están encajados sus respectivos complementarios.

Aunque parezca trivial el hecho de que los complementarios estén encajados, es una información muy valiosa porque nos transmite la información de que L_10 no tiene ningún elemento del complementario de L_24.


Siguiendo el ejemplo de la colección de monedas ... si tu colección es mayor que la mía, esta afirmación nos confirma que yo no tengo ninguna de las monedas que te faltan para completar la colección. Como el encaje afecta a todos los usuarios de estos foros, ya sabemos que la unión de todas nuestras colecciones no forman una colección completa porque la segunda premisa impide que la unión de todos nuestras colecciones aporten las monedas que faltan a la colección más numerosa de todos nosotros.


Resumiendo el ejemplo:

Dadas las premisas
[A] «Ningún usuario de estos foros tiene la colección completa de monedas de euro»
[B] «Todas nuestras colecciones están encajadas unas en otras»

Es válido concluír que
[C] «Hay alguna moneda de la colección que no tenemos ninguno de nosotros»

Y como consecuencia de ello, que:
[D] «La unión de todas nuestras colecciones no forma una colección completa»

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Yo entiendo perfectamente que esa implicación no resulte evidente a primera vista, ni fácil sin ejemplos que nos ayuden a entenderla; y entiendo (no digo que sea tu caso) que alguien se empeñe en afirmar que dicha implicación es falsa.

Pero si alguien se empeña en que es falsa, desde la lógica tan solo puedo explicarla (tal y como espero haber hecho) o poner diferentes ejemplos más o menos acertados con la esperanza de que alguno de esos ejemplos "encienda la bombilla" de mi oponente.


No espero haberte convencido porque sé que tu confianza en las matemáticas que has aprendido en el colegio y en la universidad es muy grande porque nunca te fallaron, pero sí que espero crear una duda y abrir una brecha en esa confianza.

Cuando consiga abrir una duda (si es que lo consigo) entonces ya estarás preparado para asimilar otra demostración muy diferente pero ajena a la teoría de conjuntos.


Saludos.

Nexus 7
08/03/2006, 00:21
Hola.

Aunque con esta cuestión aparecen multitud de incoherencias, como no es cuestión de insistir con argumentos lógicos que son rebatidos de un plumazo por los matemáticos afirmando que las matemáticas están por encima de la lógica matemática (a pesar de que la acaten al pie de la letra cuando se trata de demostrar algo que les apoye con una demostración por reducción al absurdo) solo os expondré una última implicación lógica antes de abandonar la lógica matemática y adentrarme en geometría.


Como todos los elementos N_i contienen todos los n de 1 a i sin saltarse ningún número, y como al estar todos encajados ningún conjunto aporta ningún elemento del complementario de conjuntos de mayor cardinal que él, podemos construir la siguiente implicación lógica.

Si el 5 está en el conjunto UN_i, implica que tiene algún elemento de cardinal igual o mayor que 5.
Si el 7 está en el conjunto UN_i, implica que tiene algún elemento de cardinal igual o mayor que 7.
Si el 50 está en el conjunto UN_i, implica que tiene algún elemento de cardinal igual o mayor que 50.
Si el 200 está en el conjunto UN_i, implica que tiene algún elemento de cardinal igual o mayor que 200.
Si el 1000 está en el conjunto UN_i, implica que tiene algún elemento de cardinal igual o mayor que 1.000
...
...
Si todos los n de N están en el conjunto UN_i, implica que tiene algún elemento de cardinal igual o mayor a todos los n de N.


Saludos.

Nexus 7
09/03/2006, 12:47
Hola.

Bueno, con este mensaje sobre geometría acabo mi tercer punto. Y aunque creo estar dando argumentos razonados de que es incoherente la Teoría de Conjuntos, no entiendo porqué no hay más participaciones de otras personas.

¿No interesa a nadie el tema? ¿Solo somos 3 o 4 "bichos raros" a quienes nos importa que un sistema matemático sea coherente o no? ¿Os perdisteis en el "Hola" del segundo mensaje de este hilo? ¿Temeis que me lie a insultaros si me llevais la contraria? ¿Estoy condenado al ostracismo? ¿Me estais dando cuerda larga para que me desahogue?

---------------------------

Hagamos una enumeración de los 9 primeros N_i (N_i | i<10)

N_1 = {1}
N_2 = {1, 2}
N_3 = {1, 2, 3}
N_4 = {1, 2, 3, 4}
N_5 = {1, 2, 3, 4, 5}
N_6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
N_7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
N_8 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
N_9 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Si os fijáis en las listas de los elementos podréis observar un triángulo rectángulo donde los catetos son la base y la altura. Bueno, pues las siguientes enumeraciones aparecerán alineadas a la derecha para tener una mejor perspectiva.

Dibujemos un triángulo rectángulo isósceles, cuyos catetos son la base y la altura respectivamente. Algo así como esto: \begin{picture}(210,210) \put(20,20){\line(1,0){180}} \put(20,20){\line(1,1){180}} \put(200,20){\line(0,1){180}} \end{picture}


Dividamos cada cateto en tres partes iguales. Ahora tenemos un triángulo "cuadriculado" donde podemos enjacar todos los elementos de los 3 primeros N_1

Así: \begin{picture}(210,210)
\put(20,20){\textcolor{red}{\line(1,0){180}}}
\put(200,20){\textcolor{red}{\line(0,1){180}}}
\put(20,20){\line(1,1){180}}
\put(80,20){\line(0,1){60}}
\put(140,20){\line(0,1){120}}
\put(200,80){\line(-1,0){120}}
\put(200,140){\line(-1,0){60}}
\put(60,50){\textcolor{red}{1}}
\put(110,50){\textcolor{red}{2}}
\put(170,50){\textcolor{red}{3}}
\put(120,110){1}
\put(170,110){\textcolor{red}{2}}
\put(175,165){\textcolor{red}{1}}
\end{picture}


Ahora, cada una de las filas y columnas las dividiremos en dos. Como ya tenemos 6 filas, podemos poner la enumeración de los 6 primeros N_i
Los 6 primeros N_i: \begin{picture}(210,210)
\put(20,20){\textcolor{red}{\line(1,0){180}}}
\put(200,20){\textcolor{red}{\line(0,1){180}}}
\put(20,20){\line(1,1){180}}
\put(50,20){\line(0,1){30}}
\put(80,20){\line(0,1){60}}
\put(110,20){\line(0,1){90}}
\put(140,20){\line(0,1){120}}
\put(170,20){\line(0,1){150}}
\put(200,50){\line(-1,0){150}}
\put(200,80){\line(-1,0){120}}
\put(200,110){\line(-1,0){90}}
\put(200,140){\line(-1,0){60}}
\put(200,170){\line(-1,0){30}}
\put(35,35){\textcolor{red}{1}}
\put(62,35){\textcolor{red}{2}}
\put(92,35){\textcolor{red}{3}}
\put(122,35){\textcolor{red}{4}}
\put(152,35){\textcolor{red}{5}}
\put(182,35){\textcolor{red}{6}}

\put(182,65){\textcolor{red}{5}}
\put(182,95){\textcolor{red}{4}}
\put(182,125){\textcolor{red}{3}}
\put(182,155){\textcolor{red}{2}}
\put(182,175){\textcolor{red}{1}}
\end{picture}
(nota: no relleno los huecos porque el latex no aguanta tantos comandos.)


Y ahora dividimos por 2 cada fila y cada columna. Como la base y la altura miden 12, podemos enumerar los 12 primeros N_i.
Los 12 primeros N_i: \begin{picture}(210,210)
\put(20,20){\textcolor{red}{\line(1,0){180}}}
\put(200,20){\textcolor{red}{\line(0,1){180}}}
\put(20,20){\line(1,1){180}}

\put(35,20){\line(0,1){15}}
\put(50,20){\line(0,1){30}}
\put(65,20){\line(0,1){45}}
\put(80,20){\line(0,1){60}}
\put(95,20){\line(0,1){75}}
\put(110,20){\line(0,1){90}}
\put(125,20){\line(0,1){105}}
\put(140,20){\line(0,1){120}}
\put(155,20){\line(0,1){135}}
\put(170,20){\line(0,1){150}}
\put(185,20){\line(0,1){165}}

\put(200,35){\line(-1,0){165}}
\put(200,50){\line(-1,0){150}}
\put(200,65){\line(-1,0){135}}
\put(200,80){\line(-1,0){120}}
\put(200,95){\line(-1,0){105}}
\put(200,110){\line(-1,0){90}}
\put(200,125){\line(-1,0){75}}
\put(200,140){\line(-1,0){60}}
\put(200,155){\line(-1,0){45}}
\put(200,170){\line(-1,0){30}}
\put(200,185){\line(-1,0){15}}
\put(29,25){1 \ \ 2 \ 3 \ \ 4 \ 5 \quad 6 \ 7 \quad 8 \ 9 \ 10 \ 11 \ 12}
\put(188,70){9} \put(188,115){6} \put(188,160){3}
\end{picture}
(nota: no pongo ni un número más por el latex)

Como podreis apreciar, los catetos siempre miden lo mismo (por algo es isósceles y es siempre el mismo triángulo). Cada vez que dibujamos una nueva línea horizontal debemos dibujar otra vertical para poder escribir el elemento que se crea con dicho corte. Si no lo hiciéramos habría algún elemento repetido. Si no queremos tener elementos repetidos tendremos que dibujar líneas horizontales y verticales de forma solidaria.

Desde el primer triángulo hasta N_{12} hemos dividido la longitud de los catetos primero por 3, por 2 y por 2. Y como 3·2·2=12, tenemos una enumeración de 12 N_i, el elemento de mayor cardinalidad tiene 12 de cardinal, y la unión de los 12 elementos tiene cardinal 12.

Podemos volver a hacer nuevas divisiones, tantas como queramos; pero si queremos que siga siendo una correcta enumeración tendremos que tener muy en cuenta que no puede haber una línea horizontal sin su correspondiente línea vertical.

Supongamos que trazamos una cantidad "infinita" de líneas, tantas como n tiene N. Pues ahora, como por arte de magia y por alguna razón que yo no alcanzo a entender, la teoría de conjuntos asegura que ese triángulo ya no es isósceles.

Según la teoría de conjuntos, y a pesar de que hemos hecho la misma cantidad de líneas horizontales que verticales, el cateto altura tiene infinitas líneas horizontales mientras que el cateto base tiene una cantidad finita de líneas verticales.

No saben cuantas líneas horizontales hay, pero aseguran que son infinitas.
No saben cuantas líneas verticales hay, pero aseguran que son finitas.
Como infinito multiplicado por el tamaño de cada celda siempre es mayor que cualquier cantidad finita multiplicada por ese mismo tamaño de celda ... el triángulo YA NO es isósceles. Esto sí que es magia y no lo de Tamariz.


-- Pero hombre, si tienen la misma cantidad de cortes horizontales y verticales ...
-- Es que las matemáticas no son intuitivas.
-- Si yo no digo que sea una intuición, afirmo que no es lógico que ...
-- Es que las matemáticas están por encima de la lógica.
-- Pero es que ahora no estoy hablando de lógica matemática, estoy hablando de geometría y aritmética. Por geometría ambos catetos siempre son iguales porque hemos usado un único triángulo y nunca hemos alterado sus dimensiones, si antes era isósceles ahora también debe seguir siendo isósceles.
Y además, por aritmética también podemos demostrar que ambos catetos siguen siendo iguales. La altura inicial mide x, la altura después de cada uno de los cortes vale n \cdot x/n =x donde n es la cantidad de cortes; y si la base mide x, la longitud de la base después de cada uno de esos cortes también vales n \cdot x/n =x. Como n de la base tiene que tener el mismo valor que la n de la altura para que la enumeración siga siendo correcta, la ecuación y las incógnitas que determinan el tamaño de la base es la misma que para la altura.
-- Pero es que los cortes de la altura son infinitos y la base tiene que ser finita por narices.
-- Olvidémonos de finitos e infinitos. En ambos casos el valor de n es \lim_{n \to \infty} n
-- Pero en la altura hay infinitos n y en la base no puede haber infinitos n
-- Joder con los infinitos. Si en ambos casos hay una misma ecuación matemática con exactamente las mismas variables, entonces en ambos casos tendremos exactamente los mismos resultados.
-- Es que el límite de \lim_{n \to \infty} n no es n, ES infinito.
-- NO, ESO ES FALSO, eso solo es un empleo incorrecto del lenguaje matemático. Decimos que el límite es infinito cuando una expresión matemática carece de límite. Esto es, en ambos casos el valor de n puede aumentar sin ningún límite; ni existe un límite para los n verticales, ni existe un límite para los n horizontales. Es absurdo decir que el n horizontal siempre es un natural porque así lo impone el segundo axioma de Peano, y de forma simultánea saltarse a la torera ese mismo axioma afirmando que el n vertical sí es infinito.
-- Es que ...

Joder, si me dijeran «los designios de Cantor son inescrutables», por lo menos sabría a qué atenerme y qué responder.

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Ahora empecemos otra vez con el primer triángulo, pero ahora debajo del cateto horizontal pondremos el resultado de la unión de todos los N_i enumerados.

Algo como esto: \begin{picture}(210,210) \put(20,20){\textcolor{red}{\line(1,0){180}}} \put(200,20){\textcolor{red}{\line(0,1){180}}} \put(20,20){\line(1,1){180}}
\put(80,20){\line(0,1){60}} \put(140,20){\line(0,1){120}}
\put(200,80){\line(-1,0){120}} \put(200,140){\line(-1,0){60}}
\put(60,50){\textcolor{red}{1}} \put(110,50){\textcolor{red}{2}} \put(170,50){\textcolor{red}{3}}
\put(120,110){1} \put(170,110){\textcolor{red}{2}} \put(175,165){\textcolor{red}{1}}
\put(60,10){\textcolor{blue}{1}} \put(110,10){\textcolor{blue}{2}} \put(170,10){\textcolor{blue}{3}}
\end{picture}

Y repitamos todas los pasos anteriores. Pues ahora el triángulo sí puede ser isósceles (ambos catetos tienen infinitas divisiones)

Osti tú, ¡un cateto finito por dentro e infinito por fuera!

Las divisiones son las mismas tanto por dentro como por fuera, pero el conjunto de las divisiones de dentro tiene cardinalidad finita (nadie sabe cual cardinal, pero saben que tiene que ser finito por narices) y el conjunto de esas mismas divisiones vistas desde fuera tiene un caridinal infinito.
Eso sí que es estar entre Pinto y Valdemoro y no lo del borracho que saltaba el arroyo.

Por cierto, y hablando de estar entre Pinto y Valdemoro, supongo que todos habreis oído la expresión "estar entre Pinto y Valdemoro" pero seréis pocos quienes conozcais la historia que dio lugar a esa expresión.

Entre Pinto y Valdemoro pasa un arroyo,
y un borracho alegre va saltándole de un lado al otro.
Mientras va saltando va cantando esta canción:
Ahora estoy en Pinto, y ahora en Valdemoro;
ahora estoy en Pinto, y ahora en Valdemoro;
ahora estoy en Pinto, y ahora en Valdemoro;
ahora estoy en Pinto, y ahora en Valdemoro ...
En estas que tropezó y calló en medio del arroyo,
y viéndose empapado dijo: Ahora estoy, entre Pinto y Valdemoro.


Pues nuestro cateto, una vez terminada la enumeración de N, pues igual.
Ahora soy finito, y ahora infinito;
ahora soy finito, y ahora infinito;
ahora soy finito, y ahora infinito;
ahora soy finito, y ahora infinito;
...

Ahora soy isósceles, ahora no soy isósceles;
ahora soy isósceles, ahora no soy isósceles;
ahora soy isósceles, ahora no soy isósceles;
...


Saludos.

Nexus 7
10/03/2006, 21:48
Compruebo con mucho desánimo que a nadie o a casi nadie le interesa este tema.

Aun así, estimo que publicar estos mensajes no ha sido desperdiciar el tiempo porque me habeis mostrado algunos conjuntos mal definidos, y escribiendo (que siempre pienso de forma más racional y ordenada mientras escribo) he aprendido a plantear el silogismo de la colección de monedas. Un silogismo que siempre había sido incapaz de crear hasta que Ronin me forzó a ello (y mira que lo busqué desesperadamente durante mucho tiempo)

Y hasta he aprendido a plantear un buen ejemplo con el triángulo y la enumeración de los diferentes N_i. Un ejemplo que yo aprecio mucho porque me ha sido muy útil para comprobar que sí podré algún día expresar de alguna forma práctica mi concepto de cardinal indeterminado.


No empecé este tema ni para crear enfrentamientos ni para demostrar nada personal a nadie (lo más importante era demostrármelo a mi mismo, y eso ya lo conseguí a mediados de febrero), sino que lo empecé por dos cuestiones diferentes. Por un lado para que alguien me "repasara" las definiciones de conjuntos, y lo segundo por compartir mis opiniones, planteamientos e ideas con quien estuviera interesado en este tema.


Como lo primero (comprobar que las definiciones son correctas) ya lo he conseguido. Y como lo segundo (mostrárselo a quien le interese) me temo que es perder el tiempo porque no os interesa a ninguno ...

¿Para qué molestarme en daros la vara publicando aquí lo que no os interesa?
Mandaré imprimir mis notas en una edición de pocos ejemplares, los justos para repartirlos entre mis amigos y familiares, y fuera de lios.


Saludos.

n0mad
10/03/2006, 22:51
Para algunos de nosotros con escasos conocimientos de conjuntos y numeros, estas discusiones no nos resultan triviales. Aun asi te animo a que continues en tu batalla nexus. :r:

graviton
10/03/2006, 23:01
Nexus, por mi parte me duele no tener mucho que decirte, primero por la currada que te has pegado y, en segundo lugar, porque me interesan los fundamentos de las Matemáticas, pero casi sólo desde un punto de vista histórico, no formal. Además de ser muy negado para las cuestiones abstractas.

Por lo menos (históricamente hablando) podré decir dentro de 20 años, yo estaba en aquel foro donde Nexus nos expulsó del paraíso de Cantor. :wink:

En serio, tal vez sea un tema demasiado especializado, en el que hay que meterse a fondo e invertir mucho tiempo, cosa que no abunda para los participantes del foro. De todos modos, como has dicho, exponer las cosas siempre es positivo, no pierdas la esperanza de más participaciones en el futuro.

Bueno, por aportar algo relacionado, ¿conoces el triángulo de Galileo con el que probaba (informalmente) que dos segmentos de distinta longitud tenían que tener el mismo número de puntos?

No sé si era como yo lo pongo pero la idea es más o menos esta. La línea roja pivota sobre O recorriendo a la vez el segmento A'-B' y el A-B. En cada instante pasa por un solo punto de cada segmento, empieza y acaba de recorrerlos a la vez, así que la conclusión sería que ambos tienen el mismo número de puntos a pesar de tener diferente longitud, ¿no?. Aunque esto tiene más bien que ver con \aleph_1 que con \aleph_o.


\begin{picture}(200,200)
\put(20,20){\line(1,0){130}}
\put(20,150){\line(1,-1){130}}
\put(20,20){\line(0,1){130}}
\put(20,70){\line(1,0){80}}
\put(20,150){\textcolor{red}{\line(1,-2){65}}}
\put(5,140){O}
\put(5,70){A'}
\put(105,70){B'}
\put(5,10){A}
\put(150,10){B}
\end{picture}


Tampoco sé si esto viene a cuento, pero quería poner algo relacionado con el tema de los infinitos (y practicar los dibujos con latex). :D


Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor creó para nosotros.
¿O sí? :?

tuzania
11/03/2006, 08:53
Por mi parte yo lo guardo en mis archivos, para que el día que tenga que ver teoría de conuntos en la universidad (aun no entro :roll:), estar muy crítico al respecto y no tenerle fé ciega a lo que vea por ahí... :ajam:





\begin{picture}(200,200)
\put(20,20){\line(1,0){130}}
\put(20,150){\line(1,-1){130}}
\put(20,20){\line(0,1){130}}
\put(20,70){\line(1,0){80}}
\put(20,150){\textcolor{red}{\line(1,-2){65}}}
\put(5,140){O}
\put(5,70){A'}
\put(105,70){B'}
\put(5,10){A}
\put(150,10){B}
\end{picture}



:shock: Es cierto!! \forall A'\in \overline{AO}, \exists B' \in \overline{BO} Y también sucede a la inversa, pero al fin y al cabo como se ha referido Nexus 7 hace tiempo, con los conjuntos infinitos (en este caso de puntos), suceden cosas muy raras... en este caso que un infinito sea más grande que el otro xD... Aunque si cerramos un poco el ángulo AOB y dejamos con la misma orientación A'B', esta recta no va a poder abarcar todos los puntos de OB, lo que quiere decir, que de alguna manera, por rotar el segmento OB ahora éste tiene más puntos que OA, es decir, tiene más puntos que antes :shock: .

Falla algo?, la axiomática de euclides o la teoría de conjuntos o qué?

Estoy desconcertado :roll: :cabezazo:

:h:

graviton
11/03/2006, 12:40
Es cierto!! \forall A'\in \overline{AO}, \exists B' \in \overline{BO} Y también sucede a la inversa, pero al fin y al cabo como se ha referido Nexus 7 hace tiempo, con los conjuntos infinitos (en este caso de puntos), suceden cosas muy raras... en este caso que un infinito sea más grande que el otro xD... Aunque si cerramos un poco el ángulo AOB y dejamos con la misma orientación A'B', esta recta no va a poder abarcar todos los puntos de OB, lo que quiere decir, que de alguna manera, por rotar el segmento OB ahora éste tiene más puntos que OA, es decir, tiene más puntos que antes.

No sé si te entiendo, la que varía es la línea roja, que parte de O-A y acaba en O-B, y va recorriendo el segmento A'-B' y el A-B a la vez emparejando sus puntos. La forma del triángulo no importa, yo lo he hecho rectángulo porque es más fácil de dibujar.

En un antiguo hilo herodoto hablaba de estos temas (y yo dije lo del triángulo pero con una variación, y sin dibujo de latex):
http://foro.migui.com/smf/index.php?topic=91.0

Nexus 7
12/03/2006, 02:16
Hola.

Ya no veo ningún problema por desviarnos del tema central (si alguien opina sobre él, yo lo retomaré encantado; y si me decido a publicar el resto, me sería muy conveniente hacerlo en otro tema). Entraré sin inconvenientes en "off-topic"


Por mi parte yo lo guardo en mis archivos, para que el día que tenga que ver teoría de conuntos en la universidad (aun no entro :roll:), estar muy crítico al respecto y no tenerle fé ciega a lo que vea por ahí... :ajam: Me alegro mucho de ello, pero lo normal es que acabes convencido de las ideas y conceptos de Cantor. Esto es así porque una falacia NO es una mentira y eso tiene sus consecuencias en el subconsciente a la hora de aceptar o no aceptar los argumentos que te presenten. Lo intentaré con ejemplos:

Sea el silogismo «Si a<b y b<c, entonces a<c»
Al ser una deducción correcta, nuestros resultados siempre serán acordes con las premisas.

Sea el silogismo «Si a<b y b<c, entonces a>c»
Al ser una deducción errónea, siempre será posible encontrar una contradicción entre la conclusión y las premisas.

Sea el silogismo «Si a<b y c<d, entonces a<d»
Esto es una conclusión falaz. No es ni verdadera ni falsa. Si fuera falsa sabríamos que su negación (a es igual o mayor que d) sería verdadera, pero tampoco es verdad que «Si a<b y c<d, entonces a>=d»
Al ser una conclusión falaz, NUNCA podrás encontrar una contradicción entre la conclusión y las premisas. Por esto mismo, cualquier intento de encontrar en la teoría de conjuntos una incoherencia entre sus afirmaciones (conclusiones) y sus premisas (axiomas) siempre estará condenada al fracaso.

Una persona sin experiencia en la lógica matemática siempre intentará demostrar que tal o cual axioma es incorrecto empleando la teoría de conjuntos. Pero eso es esfuerzo inútil y misión condenada al fracaso porque ese planteamiento solo podría tener éxito cuando las conclusiones fueran erróneas. Pero las afirmaciones de la teoría de conjuntos NO son erróneas con sus premisas, solo son falaces con sus premisas. Todos estos fracasos en demostrar lo indemostrable son fuertes y rotundos refuerzos sicológicos en que sus conclusiones son correctas. [si ni tú ni nadia ha podido demostrar que es falsa, solo puede ser porque es verdadera. Un argumento muy común entre los cristianos para "demostrar" que dios existe]

Asentar las bases en una falacia NO es malo, sino algo necesario e imprescindible (todos los axiomas son falacias que aceptamos como verdad porque en caso contrario nunca podríamos afirmar nada) y por ese motivo yo no tengo ningún inconveniente en aceptar como verdadero cualquier cosa de antemano. El problema, y mis diferencias con la teoría de conjuntos, surge cuando de un único silogismo que no podemos obtener ninguna conclusión lógica, unas veces se opta por una afirmación y otras veces se opta por la negación.

Para ver inconsistencias en una conclusión falaz no puedes enfrentar directamente las conclusiones con sus premisas (esfuerzo inútil), sino dar cuerda larga a las diferentes conclusiones cuyos orígenes son falaces y contrapuestos para luego acabar enfrentando unas conclusiones contra otras. Por esta causa mis demostraciones NUNCA pueden ser inmediatas ni triviales



Un ejemplo práctico de demostración de una falacia:
<A> Ningún país que haya sido explorado está infectado de dragones.
<B> Los países inexplorados son fascinantes.

Conclusión falaz:
Los países infectados de dragones son fascinantes.

Conclusión correcta:
No hay ningún país infectado de dragones que no sea fascinante.

La falacia es muy sutil: La conclusión falaz acepta que existen los dragones cuando ninguna de las premisas permite afirmar tal cosa. La conclusión correcta no afirma que existan los dragones, pero si por cualquier motivo existen y encontramos algún país infectado de ellos, es porque es un país inexplorado y por lo tanto es un país fascinante.

La conclusión falaz NO se opone a las premisas (si lo hiciera no sería una falacia sino una falsedad), y por lo tanto, si por cualquier motivo se sospecha que es falsa (que puede no serlo si suena flauta y aciertas de chiripa), para demostrarlo no se puede recurrir a las premisas sino que se debe recurrir a otras conclusiones diferentes de otras premisas diferentes. En este caso, para demostrar que es falso que existan los países con dragones se deberán buscar otras conclusiones de otros axiomas-premisas diferentes; como por ejemplo algún axioma de "la no existencia" que dijera algo así como "solo existen aquellas especies de animales que se tenga constancia fidedigna y comprobable por cualquiera de, al menos, un individuo de dicha especia". Ahora YA sí puedes demostrar que la conclusión falaz es contraria a otras premisas que también han sido aceptadas.

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Es cierto!! \forall A'\in \overline{AO}, \exists B' \in \overline{BO} Y también sucede a la inversa, No sé si te entiendo, la que varía es la línea roja, que parte de O-A y acaba en O-B, y va recorriendo el segmento A'-B' y el A-B a la vez emparejando sus puntos. Creo que lo mejor sería hacerlo algo así como esto:

Sea a un elemento de la recta A'B'
Sea b un elemento de la recta AB

\forall a\in \overline{A'B'}, \exists ! \ b \in \overline{AB}
\forall b\in \overline{AB}, \exists ! \ a \in \overline{A'B'}

De esta forma hemos establecido una biyectiva entre todos los puntos de AB y de A'B'



Aunque si cerramos un poco el ángulo AOB y [...] ahora éste tiene más puntos que OA, es decir, tiene más puntos que antes :shock: .

Falla algo?, la axiomática de euclides o la teoría de conjuntos o qué? Sí, falla la relación que haces subconscientemente entre cardinalidad y cantidad.

El gráfico de Galileo que ha puesto Gravitón demuestra que existe un biyectiva entre ambos segmentos, y de forma precipitada has deducido (igual que Cantor en su día) que ambos segmentos tienen exactamente la misma cantidad de elementos. Pero ya se demostró hace mucho que cardinalidad y cantidad son cosas diferentes cuando tratamos conjuntos no-finitos (y por eso la reaxiomatización de Zermelo)


Fíjate en esta otra imagen:
\begin{picture}(200,200)
\put(20,70){\line(1,0){130}}
\put(20,200){\line(1,-1){130}}
\put(20,70){\line(0,1){130}}
\put(20,120){\line(1,0){80}}
\put(20,200){\textcolor{red}{\line(1,-2){65}}}
\put(85,70){\textcolor{red}{\line(1,-2){25}}}
\put(5,190){O}
\put(5,125){A'}
\put(105,125){B'}
\put(5,70){A}
\put(150,70){B}
\put(5,22){A"}
\put(150,22){B"}
\put(30,20){\textcolor{blue}{\line(0,1){100}}}
\put(60,20){\textcolor{blue}{\line(0,1){100}}}
\put(90,20){\textcolor{blue}{\line(0,1){100}}}
\put(120,20){\textcolor{blue}{\line(0,1){100}}}
\put(150,20){\textcolor{blue}{\line(0,1){100}}}
\put(20,20){\line(1,0){130}}
\multiput(20,22)(0,10){5}{\line(0,1){5}}
\multiput(152,20)(10,0){5}{\line(1,0){5}}
\multiput(105,120)(10,0){5}{\line(1,0){5}}
\multiput(155,65)(15,-15){3}{\line(1,-1){10}}
\end{picture}

Si establecer ciertas funciones fuera un indicativo de cantidad entre los puntos de esas tres rectas (que está demostrado que no lo es) entonces tendríamos una bonita incongruencia.

La función roja indica que AB=A'B' > A"B"
Y la función azul indica que AB=A"B" > A'B'
Y hasta podríamos establecer una función amarilla tal que AB=A'B'=A"B"


Estoy desconcertado :roll: :cabezazo: Eso es porque no terminas de desligar el concepto «cardinalidad» del concepto «cantidad». Desliga ambos conceptos y se te irá el desconcierto.

El "problema", es que si lo consigues te volverás tan hereje como yo. Y será así porque entonces entenderás completamente mi postura cuando afirmo que me importan un carajo ciertas cuestiones de cardinalidad finita o infinita cuando hablamos de la cantidad de decimales de un irracional y de la cantidad de decimales que se pueden obtener en las enumeraciones de mis conjuntos A_n (ambas cantidades se reflejan aritméticamente con la expresión decimales = \lim_{n \to \infty} n que es tanto como decir que ni existe límite en la cantidad de decimales de un irracional, ni existe límite en la cantidad de decimales que puedo obtener con mis conjuntos)


Saludos.

Fortuna
12/03/2006, 08:14
Navegando me encontré con ésto:



6. Perron's Paradox. (This joke has a somewhat deeper meaning).

THEOREM. The greatest natural integer is 1.

Proof. Let N be the greatest natural integer. Assume, by contradiction, that N>1. By multiplying both sides by N, we obtain NN>N. So N is not the greatest. Contradiction. So N=1.

No estoy seguro de como solucionarlo.

Lo que no entiendo es ésto:


Según la teoría de conjuntos, y a pesar de que hemos hecho la misma cantidad de líneas horizontales que verticales, el cateto altura tiene infinitas líneas horizontales mientras que el cateto base tiene una cantidad finita de líneas verticales

...
He leido alguno de tus post y veo que lo explicas. Disculpas.

graviton
12/03/2006, 12:39
Eso es porque no terminas de desligar el concepto «cardinalidad» del concepto «cantidad».
Precísamente ahí me perdí y ya no pude seguir tus razonamientos cuando en tu segundo mensaje dijiste esto:

Cuando Cantor elaboró su demostración, ésta era válida porque él aceptaba que la equipotencia entre los naturales y los dígitos de los irracionales representaba que ambos conjuntos tenía una misma CANTIDAD de elementos.

Pero desde la axiomatización de Zermelo sabemos que dicha equipotencia NO representa que ambos conjuntos tengan la misma cantidad de elementos. No existe ninguna causa matemática que identifique cardinalidad con cantidad entre dos conjuntos infinitos.


PD: Gracias por el dibujo, acabas de enseñarme a poner "- - -" con el multipad. :D

Nexus 7
12/03/2006, 18:21
Hola


Navegando me encontré con ésto:
THEOREM. The greatest natural integer is 1. [...]
No estoy seguro de como solucionarlo. Bueno, como yo sé por otros temas diferentes que tú sabes bastante de matemáticas, puedo deducir que no precisas que yo te explique que N es un conjunto que carece de elemento mayor, y puedo deducir que tú no precisas que yo te explique que en las demostraciones por reducción al absurdo, la proposición a demostrar no puede contener (además de la afirmación a comprobar) otra afirmación no confirmada como verdadera.

De esta deducción puedo inferir que pones ese ejemplo de demostración por algún otro motivo. Bueno, pues al final pondré algún ejemplo similar.


Lo que no entiendo es ésto:
Según la teoría de conjuntos, y a pesar de que hemos hecho la misma cantidad de líneas horizontales que verticales, el cateto altura tiene infinitas líneas horizontales mientras que el cateto base tiene una cantidad finita de líneas verticales...
He leido alguno de tus post y veo que lo explicas. Empecemos con las líneas horizontales (tamaño del cateto vertical): Cantor presupone que la enumeración de los naturales es completa, y sus afirmaciones permiten presuponer que es posible hacer tantas rayas horizontales como elementos tiene N. Y de ello podríamos deducir que es posible hacer una cantidad infinita de rayas horizontales en el cateto vertical.

Pero la primera presuposición de Cantor se puede demostrar que es falsa, y la segunda presuposición ya se demostró a primeros del s.XX que era falsa. No obstante, y a pesar de ambas falsedades, empleando la teoría de conjuntos podemos dar como válido que es posible establecer un conjunto de cardinal infinito cuyos elementos son los huecos entre dos rayas horizontales.


Con respecto a las líneas verticales (tamaño del cateto horizontal):
Ya tenemos una línea vertical (el cateto vertical)
Y podemos dibujar una segunda línea vertical.
Y podemos dibujar una tercera línea vertical.
Y podemos dibujar una 4ª línea vertical.
y una 5ª
y una 6ª
y una 7ª
y ...
Y siempre podremos dibujar la enésima línea vertical.

Pero por el segundo axioma de Peano sabemos que n siempre es un número natural (aun cuando tienda a infinito) y por lo tanto el cateto horizontal siempre tendrá una cantidad natural de líneas verticales y por lo tanto el conjunto de dichos elementos no podrá ser de cardinal infinito.

------------
------------

Ahora bien, podemos hacer tal y como hace Perron (en el ejemplo que tú transcribes) construyendo una demostración por reducción al absurdo y demostrar que ese cateto no existe.

Está dibujado, yo lo dibujé con rojo, pero nos engañan nuestros sentidos porque con la teoría de conjuntos podemos demostrar que no está. Aunque vosotros también lo veais, no está, es un cateto tipo poltergeist.

Yo voy a demostrar la siguiente proposición: "cuando hacemos tantas rayas horizontales como naturales tiene N, el cateto de la base no existe"

Para demostrarlo supondré que su negación es verdadera, y empleando métodos válidos llegaré a una conclusión contradictoria con dicho supuesto. Como una proposición no puede ser verdadera y ser contraria consigo misma, la contradicción demostrará que el supuesto es falso y por lo tanto es verdadera la afirmación que yo quería demostrar.

Como la proposición a demostrar es: "cuando hacemos tantas rayas horizontales como naturales tiene N, el cateto de la base no existe", supondré que es verdadera la siguiente proposición:
"cuando hacemos tantas rayas horizontales como naturales tiene N, el cateto de la base SÍ existe"

Si hacemos tantas rayas horizontales como naturales tiene N, entonces siempre es posible establecer una biyectiva entre cada una de las rayas horizontales de ese triángulo con un único elemento de N de tal forma que a cada elemento de N le corresponda una única raya horizontal.

Como ambos conjuntos tienen el mismo cardinal y son conjuntos ordenables de menor a mayor, es lícito establecer esta biyectiva:
El primer natural con la primera (por tamaño) línea horizontal de ese triángulo.
El segundo natural con la segunda (por tamaño) línea horizontal de ese triángulo.
El tercer natural con la tercera línea (por tamaño) horizontal de ese triángulo.
El cuarto natural con la cuarta línea (por tamaño) horizontal de ese triángulo.
...
El enésimo natural con la enésima (por tamaño) línea horizontal de ese triángulo.

Las propiedades de las aplicaciones biyectivas establecen que una vez realizada la biyección, todo elemento del conjunto origen tiene un único elemento imagen, y también establecen que no existe un elemento imagen si su correspondiente elemento origen.

Si el conjunto origen carece del elemento "el mayor natural", el conjunto imagen no puede tener el elemento "la mayor línea horizontal de ese triángulo" puesto que si lo tuviera no habría tal biyectiva.

Pero esta afirmación contradice el supuesto y por lo tanto dicho supuesto es falso. Como sabemos que es falso que "cuando hacemos tantas rayas horizontales como naturales tiene N, el cateto de la base SÍ existe", entonces es verdadera la proposición "cuando hacemos tantas rayas horizontales como naturales tiene N, el cateto de la base no existe"

------------------------

Es evidente que una vez dibujado el cateto de la base, éste no desaparece misteriosamente en el limbo porque nosotros dibujemos más rayas horizontales entre él y el vértice. Tan evidente como falso que 1 sea el mayor natural.

¿Donde fallan las demostraciones?
Pues fallan en que ambas demostraciones por reducción al absurdo intentan demostrar la veracidad de una proposición que (además de la afirmación a comprobar) contiene otra afirmación no confirmada como verdadera.

En el ejemplo que pones de Perron, aparte de la afirmación que queremos contrastar (si 1 es o no es el elemento mayor de N) contiene una afirmación falsa (existe un n perteneciente a N que es el elemento mayor)

En el ejemplo que te pongo del triángulo, aparte de la afirmación que queremos contrastar (si existe o no existe el cateto de la base) contiene una afirmación falsa (es posible dibujar una cantidad infinita de rayas horizontales)

¿Y porqué es falso que podamos dibujar una cantidad infinita de rayas horizontales? Pues porque infinito NO es un número y por lo tanto NO es una cantidad; y por lo tanto es absurdo suponer que podemos dibujar una cantidad que no es una cantidad de rayas horizontales.


Mientras aceptemos que N es un conjunto enumerable, serán inevitables todos estos absurdos.


Saludos.

Editado para corregir un par de errores de escritura sin importancia

Nexus 7
12/03/2006, 22:06
Hola.



Eso es porque no terminas de desligar el concepto «cardinalidad» del concepto «cantidad».
Precísamente ahí me perdí y ya no pude seguir tus razonamientos cuando en tu segundo mensaje dijiste esto: Joder, si tú te perdiste en el segundo mensaje ... no quiero ni imaginarme dónde se quedaron la mayoría de quienes intentaron leer este tema.




Cuando Cantor elaboró su demostración, ésta era válida porque él aceptaba que la equipotencia entre los naturales y los dígitos de los irracionales representaba que ambos conjuntos tenía una misma CANTIDAD de elementos.

Pero desde la axiomatización de Zermelo sabemos que dicha equipotencia NO representa que ambos conjuntos tengan la misma cantidad de elementos. No existe ninguna causa matemática que identifique cardinalidad con cantidad entre dos conjuntos infinitos. Bueno, creo que lo mejor será una especie de relato histórico.

Galileo (con la imagen que pusiste) ya identificó la idea de "establecer biyectiva" como una herramienta para medir los elementos de un conjunto, una identificación que comprobamos que tuzania ha hecho de forma instantánea cuando tú has publicado la imagen, y que compruebo que tú mismo todavía utilizas. Bueno, pues Cantor pensaba EXACTAMENTE IGUAL que vosotros y formalizó todo eso de las biyectivas.

Con la formalización que hizo Cantor, él llegó a decir que hay tanto polvo en una mota como en la habitación que la contiene [de ahí la broma de mefistófeles de "enterremos a Cantor con una mota de polvo", y mi respuesta de "y nos sobrará tanto polvo como utilicemos"]. Entre otras cosas, afirmaba que el conjunto de los naturales pares tiene exactamente la misma cantidad de elementos que el conjunto de los naturales. De ahí llegó a la conclusión de que había demostrado que eran falsos algunos de los axiomas de Euclides [como por ejemplo el axioma «el todo siempre es mayor que las partes»]

Ante estas afirmaciones los matemáticos se revolucionaron: Primero Lovbachesky había derrotado a Euclides en geometría demostrando que también podía ser verdadera la negación del 5º postulado euclídeo de geometría, y ahora Cantor machacaba a Euclides demostrando la falsedad de varios de sus axiomas en aritmética.


Esta revolución matemática se acabó cuando se demostró que la teoría de conjuntos de Cantor era un sistema inconsistente (contenía incoherencias, con dicho sistema se podía demostrar que era verdadera una afirmación y que también era verdadera su negación). La aritmética de Euclides siguió siendo un sistema matemático coherente, y Cantor en un manicomio.


Con posterioridad a la demostración de que las teorías de Cantor eran inconsistentes, Zermelo (que era discípulo de Cantor) demostró que si se hacía una nueva axiomatización y una nueva adaptación de sus definiciones en las que se desterraba cualquier relación entre cardinalidad y cantidad, entonces los teoremas de Cantor eran válidos y la nueva teoría (que ya NO identificaba cardinalidad con cantidad) era un sistema matemático consistente porque las incoherencias que demostraban que los teoremas de Cantor eran falsos, ya no podían ser aplicados porque solamente aparecían cuando relacionamos cantidad con cardinalidad.


Cuando tuzania ha visto la biyectiva galileana entre AB y A'B', rápidamente ha identificado una igualdad entre la cantidad de puntos de AB y la cantidad de puntos de A'B'. Pero está pasando por alto ese "pequeño" detalle de que está demostrado que las biyectivas (cardinalidad) NO tienen nada que ver con la cantidad de puntos de las rectas AB y A'B'.

De ahí mi comentario de que tuzania estaba desconcertado porque no terminaba de desligar el concepto «cardinalidad» del concepto «cantidad».

¿O.K. hasta aquí?
Si la respuesta es sí, entonces puedes volver a leer ese segundo mensaje (que supongo que ya entenderás) y preguntar lo que quieras.


Saludos.

P.D. El multiput no funciona bien si haces trazos de menos de 10 pixel en rectas inclinadas. Por eso la prolongación de la recta OB presenta trazos mucho más largos que el resto de prolongaciones [no admitía el (5,-5) y el (10,-10) daba problemas].

graviton
12/03/2006, 23:02
Gracias por la explicación, a ver si empiezo a entenderte un poco más, pero no te prometo nada. Además a partir de mañana tengo mucho menos tiempo libre, mi ocio pasará de ser no numerable a numerable (cosas de tener un trabajo estacional).

Por cierto he encontrado que Cantor creía en un infinito absoluto que identificaba con Dios, lo que no sé si eso lo pensó antes o después de volverse loco. :lol:

También creo recordar que su locura la explican no por su esfuerzo mental tratando con los infinitos sino por el rechazo que en principio encontraron sus teorías.

tuzania
13/03/2006, 09:56
Por mi parte yo te estoy agradecido Nexus 7 por haberme aclarado el panorama y presentarnos la versión divulgativa de tu inquietud :lol: .
Cosas tan interesantes como estas me hacen dudar si tomar la carrera de matemáticas en vez de la de física, para poder abordar con buenas bases cosas como estas.


El cardinal indica el número o cantidad de los elementos constitutivos de un conjunto.

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_cardinal
Con esta definición me va ser aun más dificil deslindar el concepto de cardinalidad con el de cantidad :( .

Por cierto, demostró Zermelo que los arreglos que hizo a los axiomas de Cantor eran válidos?

:h:

Nexus 7
13/03/2006, 15:17
Hola.



El cardinal indica el número o cantidad de los elementos constitutivos de un conjunto.

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_cardinal
Con esta definición me va ser aun más dificil deslindar el concepto de cardinalidad con el de cantidad :( . Bueno, supongo que sabrás que de la wikipedia solo podemos tener una confianza relativa. Esa afirmación es cierta si, y solo si, el cardinal del conjunto es un número natural. La afirmación de la wikipedia NO es cierta para conjuntos infinitos porque el cardinal de dichos conjuntos (infinito) NO está estrictamente contenido en N (infinito no es un número natural, infinito no pertenece a N).

La definición rigurosa de cardinal es:

Cardinal:
Se dice que un ordinal \alpha es un cardinal si existe algún ordinal equipotente a \alpha y estrictamente contenido en \alpha. Para todo conjunto E existe un único cardinal equipotente a E que se nota por Card (E). La equipotencia de dos conjuntos es equivalente a la igualdad de sus cardinales.


La biyectiva entre los elementos de las rectas AB y A'B' establece que esos conjuntos son equipotentes. Y la equipotencia establece que ambos conjuntos tienen el mismo cardinal (infinito).

Pero como no existe un ordinal natural equipotente al cardinal de esos conjuntos que refleje la cantidad de elementos, tampoco puede existir una correspondencia entre las cantidades de elementos.


Por cierto, demostró Zermelo que los arreglos que hizo a los axiomas de Cantor eran válidos? El orden que se sigue en matemáticas no permite comprobar si los axiomas cumplen los teoremas, sino que hay que comprobar si los teoremas cumplen los axiomas.

Primero hizo los arreglos, luego demostró que los teoremas de Cantor seguían siendo válidos, y luego comprobó que ya no eran válidos esa serie en concreto de teoremas que contradecían a Cantor.


Saludos.

Numerarius
22/07/2006, 04:52
Nexus, leí la demostración de la no enumerabilidad de R mediante intervalos encajados, y me pareció que, mediante esa demostración, se podía demostrar la no enumerabilidad de Q, y, de hecho, de cualquier conjunto denso.

Por tanto, puesto que esa demostración, se puede aplicar también a Q, no vale para nada.

Por otro lado debo decir que cuando leí la demostración (en la revista "Rincón Matemático") llegué a pensar que debería hacer algo que yo no entendía bien. Porque la otra alternativa era que el matemático cometía un error garrafal. ¡No advertía que su método podía aplicarse a los racionales!

Me alegro de ver que no soy el único que encuentra una falacia en esa demostración.

En este sentido, la demostración de Cantor es mucho más eficaz.

Nexus 7
22/07/2006, 15:37
Nexus, leí la demostración de la no enumerabilidad de R mediante intervalos encajados, y me pareció que, mediante esa demostración, se podía demostrar la no enumerabilidad de Q, y, de hecho, de cualquier conjunto denso.

Por tanto, puesto que esa demostración, se puede aplicar también a Q, no vale para nada. Que afirmes que también se puede aplicar a Q es un claro indicio que comprendiste la exencia de la demostración. Pero existen unas diferencias axiomáticas.

Si a y b son dos números reales tal que a<b, esa demostración funciona porque sabemos que entre a y b siempre existirá un número real tal que a<x<b. Por ejemplo, su media aritmética (a+b)/2

Cualquiera que entienda la demostración puede decir que si a y b son dos racionales entonces la demostración también funciona porque sabemos que entre a y b también existe un racional q que es su media aritmética y que cumple a<q<b. ¿verdad?

Pues no. Según la teoría de conjuntos (TC para abreviar) entre dos racionales a y b no siempre hay un racional. Tú puedes demostrar que entre dos racionales cualquiera siempre hay otro racional, pero en la TC se afirma que no está demostrado que eso sea así si lo repites una y otra vez (se columpian el principio de inducción)

Que no esté demostrado que esa cadena infinita sea un racional es la causa que invalida la aplicación de esa demostración a Q.


Por otro lado debo decir que cuando leí la demostración (en la revista "Rincón Matemático") llegué a pensar que debería hacer algo que yo no entendía bien. Porque la otra alternativa era que el matemático cometía un error garrafal. ¡No advertía que su método podía aplicarse a los racionales! No sé si habré leído esa demostración, pero si es buena te dirá en algún lado que "por el axioma de tal ... sabemos que ..."

Ese axioma es el axioma de ¿complenitud? que afirma que entre dos números reales cualquiera existe otro real. Ese axioma permite aceptar que existe un real tal que a<r<b, pero no existe un axioma que permita aceptar que existe un racional tal que a<q<b.


Me alegro de ver que no soy el único que encuentra una falacia en esa demostración. Yo no estoy de acuerdo con que no exista ese q tal que a<q<b, y lo que hago es crear primero todos los racionales posibles empleando la propiedad de ser siempre un racional la división de dos naturales. Y lo hago sin emplear en ninguna ocasión la suma infinita de naturales para evitar una argumentación muy similar a la emplean para rechazar que exista ese q tal que a<q<b ("no está demostrado que")

Una vez que he generado todos los elementos de mi conjunto (que por definición son siempre racionales exactos) los reordeno en forma de arbol de tal forma que entre dos cualesquiera de ellos siempre existe otro elemento previamente definido como racional (es la división de dos naturales) que comple la propiedad de a<q<b

Al aplicar la demostración a ese conjunto vemos que es un conjunto no numerable, y como dicho conjunto es un subconjunto de Q obtenemos que Q también es no numerable.

La falacia es la siguiente:
Esa demostración demuestra que R y Q son dos conjuntos no numerables ateníendonos al valor aritmético de sus elementos, pero eso no implica que R y Q no puedan ser enumerados siguiendo otros métodos.

Que tú y pepito seais más listos que yo NO implica que seais más listos que todos los de mi pueblo, puede que sí, o puede que no. Puede que tú sí y pepito no, puede que pepito no y tú sí, puede que los dos, o puede que ninguno.

Que R y Q sean innumerables ateniéndonos al valor aritmético de sus elementos no implica que no puedan ser enumerado ateniéndonos a otras características diferentes. Puede que uno sí y el otro no, puede que los dos, o puede que ninguno.


Saludos.

Pi
22/07/2006, 17:38
Ese axioma es el axioma de ¿complenitud? que afirma que entre dos números reales cualquiera existe otro real. Ese axioma permite aceptar que existe un real tal que a<r<b, pero no existe un axioma que permita aceptar que existe un racional tal que a<q<b.

No es necesario un axioma, se deduce de forma inmediata a partir de la densidad de Q

Nexus 7
22/07/2006, 18:04
Ese axioma es el axioma de ¿complenitud? que afirma que entre dos números reales cualquiera existe otro real. Ese axioma permite aceptar que existe un real tal que a<r<b, pero no existe un axioma que permita aceptar que existe un racional tal que a<q<b.

No es necesario un axioma, se deduce de forma inmediata a partir de la densidad de Q Si no es necesario poner un axioma para poder afirmar que siempre existe un r tal que a<r<b ...
¿Para qué carajos ponen ese axioma?
¿Porque les da la gana?
¿Porque hace bonito?
¿Para que Pi pueda llevar la contraria a Nexus?


Si fuera tal y como tú dices (que no es como tú dices y es fácilmente demostrable) entonces podríamos aplicar la demostración de Kolmogorov a Q y obtendríamos una demostración de la no numerabilidad de Q.

Pi
22/07/2006, 18:15
Q no es denso en R? juas... entonces tambien me engañaron sobre esto en primero de carrera??

Todos estos años que pensaba que estaba recibiendo una formacion, y en cambio se estaban riendo de mi a la cara :(

Nexus 7
22/07/2006, 18:24
Q no es denso en R? juas... entonces tambien me engañaron sobre esto en primero de carrera?? ¿He dicho yo acaso que Q no sea denso?
¿Estás borracho, o solo pretendes tocarme las narices?


La densidad de Q (que sí lo es y yo no lo niego) NO permite afirmar que la reiteración infinita de valores racionales siga siendo un elemento perteneciente a Q. Y no puede hacerlo porque entonces te cargarías de un plumazo la definición de números irracionales que se construyen precisamente negando que dicha rieteración siempre arroje racionales.

Pi
22/07/2006, 18:55
Sean r1, r2 reales tal que r1<r2

Supongamos que no existe q racional tal que r1<q<r2 . En ese caso sea r3 tal que r1<r3<r2. Por construccion de r3, existe una bola abierta de centro r3 y contenida en (r1,r2) tal que es entorno de r3.

Por hipotesis, esa bola no contiene elementos de Q, luego Q intersecada con ella es el vacio. Pero entonces llegamos a contradiccion, puesto que Q es denso en R y corta por tanto a toda bola abierta entorno de algun punto de R #

Luego existe q entre esos valores



P.D.: c.q.d.

Nexus 7
22/07/2006, 19:02
Sean r1, r2 reales tal que r1<r2
[...] Si a mi no me tienes que convencer de lo yo ya he dicho (que siempre existe es q tal que a<q<b)


Luego existe q entre esos valores Y como consecuencia, podemos aplicar la demostración de Kolmogorov a Q[0, 1]

Me satisface comprobar que estás de acuerdo conmigo en que existen inconsistencias matemáticas en la teoría de conjuntos.

Pi
22/07/2006, 19:07
primero me dices que no peudo demostrar lo que luego demuestro. Despues de demostrarlo, dices que estamos de acuerdo.

Me pierdo :?

Nexus 7
22/07/2006, 19:21
primero me dices que no peudo demostrar lo que luego demuestro. Despues de demostrarlo, dices que estamos de acuerdo.

Me pierdo :? Es que me encanta comprobar con qué facilidad un adoctrinado me da la razón sobre lo importante cuando intenta llevarme lo contraria en cuestiones menores.


Yo pienso igual que tú: siempre existe un q tal que a<q<b. Y su consecuencia inmediata es que la demostración de Kolmogorov sobre la innumerabilidad de R también es aplicable a Q (y por lo tanto la teoría de conjuntos es inconsistente porque nos permite demostrar una cosa y la contraria)


Me es suficiente con exponer a Numerarius las razones que esgrimen los adoctrinados para defender que Q no es innumerable, para conseguir que venga otro adoctrinado a rebatírselas y con ello darme la razón sobre la cuestión importante y trascendental: Podemos demostrar que sí y que no.


Saludos.

Pi
22/07/2006, 19:24
que te doy que??? xDDDD

Para empezar voy a buscarme la demostracion de kolmogorov, que ahora mismo no tengo ni idea de cual es, al menos por el nombre.