graviton
25/01/2006, 11:40
LA ABUELA DE SCHWARZSCHILD
Como lo prometido es deuda, ahí va esta pequeña introducción, no a la Relatividad General (como algunos pensaron y yo nunca dije), sino al espacio-tiempo de Schwarzschild. Será sólo un resumen de algunos aspectos útiles. Puede haber errores y muchas cosas susceptibles de explicar o matizar. Apreciaré rectificaciones (pocas), críticas (buenas), preguntas (fáciles), y otras aportaciones relacionadas. También animar a que el que quiera haga algo parecido pero con más rigor… y tensores. (Bueno la verdad es que al final hay tensores). Las matemáticas en este tocho son pocas y simples, y van de más a menos, así que los que las teman que no se desanimen al principio (aunque no hay ninguna dificultad).
I. LA METRICA.
Las ecuaciones de Einstein relacionan la geometría del espacio-tiempo con la distribución de masa-energía-momento (tensor energía-momento). Una de las soluciones más “fáciles” y útiles es aquella que describe el espacio-tiempo alrededor de una distribución de masa con simetría esférica, sin rotación, ni carga. Se trata de la geometría de Schwarzschild. A pesar de que casi siempre se la asocia con agujeros negros, se refiere a cualquier cosa esférica, puede ser un planeta, una estrella o una sandía (sin rabo). Sería interesante poner cómo se halla esta solución, a ver si alguien se anima.
También conviene no confundir “geometrías” con “coordenadas”, una cosa son las geometrías, por ejemplo de Schwarzschild, de Kerr, de Friedmann, etc. , y otra el que dentro de una de esas geometrías usemos diferentes coordenadas, por ejemplo en el caso que nos ocupa existen muchas, como las coordenadas de Schwarzschild, las de Eddington-Finkelstein, Kruskal-Szekeres, y otras. Nosotros nos limitaremos a las primeras, por ser las más intuitivas. (Que sean las únicas que comprendo también ha influído).
No quiero entrar en describir la forma de la geometría de Schwarzschild. Es fácil encontrar referencias en libros o en internet que la describen. Basta con saber que tiene simetría esférica, y que cuando r tiende a infinito, o M tiende a cero, debemos obtener el espacio-tiempo plano. Y también es útil visualizar la curvatura espacial con los típicos diagramas:
http://img5.imageshack.us/img5/3641/blackhole11rr.jpg (http://imageshack.us)
http://img84.imageshack.us/img84/1368/blackhole22he.jpg (http://imageshack.us)
Bueno, vamos a lo nuestro, entre otras formas se puede poner la métrica de Schwarzschild como:
ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right)(cdt)^2 + \frac{dr^2}{1-\frac{2GM}{rc^2}} + r^2(d\theta^2+\sin^2{\theta}\ d\phi^2)
Usaremos G = c = 1 para simplificar. Recordad que, a partir de ahora,
cuando aparezca \frac{2M}{r} se trata de \frac{2GM}{rc^2} , luego:
ds^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 + \frac{dr^2}{1-\frac{2M}{r}} + r^2(d\theta^2+\sin^2{\theta}\ d\phi^2)
t es el “tiempo coordinado”, se refiere al tiempo según el observador remoto, al que no afecta la gravedad. (Siendo estrictos tendríamos que evitar decir campo o gravedad y hablar sólo de curvatura, pero es más cómodo seguir con la jerga clásica).
r es el “radio coordinado”, el obtenido al dividir la longitud de la circunferencia (si nos ceñimos a un plano como luego haremos) alrededor de la masa entre 2\pi. Sería el radio si no hubiera curvatura, pero como la hay, y además no podemos medir directamente la distancia radial hasta el centro de la esfera, esta definición nos permite definir r sin ambigüedad.
Con \theta y \phi son lo que parecen.
Podríamos seguir a partir de esa forma de la métrica, pero mejor si simplificamos más considerando sólo lo que ocurra en el ecuador (como no hay rotación eso no nos afectará demasiado, casi siempre podremos fijar el ecuador donde queramos), entonces nos queda:
ds^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 + \frac{dr^2}{1-\frac{2M}{r}} + r^2 d\phi^2
Como sabemos de la Relatividad Especial hay tres tipos de separación (o intervalo):
a) De tipo temporal, es el que separa dos sucesos que se pueden unir a cierta velocidad menor que c, por ejemplo, dos situados en la línea del universo de un cuerpo o partícula con masa. Para esa partícula su separación será puramente temporal, y su tiempo será propio. Se cumple que ds^2 = -d\tau^2, luego la métrica queda:
d\tau^2 = \left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 - \frac{dr^2}{1-\frac{2M}{r}} - r^2 d\phi^2
Versión temporal de la métrica de Schwarzschild (timelike).
b) De tipo espacial, separa dos sucesos tales que para unirlos haría falta superar c, es decir, dos sucesos cuya distancia espacial no puede recorrerse con su diferencia temporal correspondiente. Siempre habrá un sistema de referencia en que podemos anular esa diferencia temporal y considerar simultáneos ambos sucesos, con lo cual estaremos hablando de una “distancia propia”.
d\sigma^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 + \frac{dr^2}{1-\frac{2M}{r}} + r^2 d\phi^2
Versión espacial de la métrica de Schwarzschild (spacelike).
c) De tipo luz, los que se relacionan mediante la velocidad c. Para la luz la parte temporal se compensa con la espacial dando una separación nula. Como la separación vale cero se llama también de tipo nulo, luego se cumple que:
0 = \left(1- \frac{2M}{R} \right) dt^2 - \frac{dr^2}{1- \frac{2M}{R}} - r^2 d\phi^2
II. ESPACIO, TIEMPO, VELOCIDAD DE LA LUZ.
Como diría jjo, la información sobre las distancias y los intervalos de tiempo está codificada en la métrica, así que podemos usar estos casos particulares de la métrica (aunque podríamos haber partido de la métrica completa) para estudiar las relaciones más sencillas entre tiempos, distancias, y de paso ver qué pasa con la velocidad de la luz.
1.- Dos sucesos en reposo. Aquí dr = d\phi = 0 , luego con la métrica temporal tendremos:
d\tau^2 = \left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2
y de ahí:
d\tau = \sqrt{1-\frac{2M}{r}}dt
Como \sqrt{1-\frac{2M}{r}} < 1
resultará que d\tau <dt> dr
Dentro del campo la distancia radial medida in situ es mayor que para el observador remoto. Como hemos insinuado antes, no es la longitud de la circunferencia (que rodea la masa) dividida por 2\pi.
3.- Dos sucesos simultáneos, separados una distancia puramente tangencial. Ahora dt = dr = 0 , luego la métrica espacial nos da:
d\sigma^2 = r^2 d\phi^2
d\sigma = r d\phi
La distancia tangencial es la misma para el que está dentro del campo que para el alejado. (No aparece el factor de curvatura).
4.- Dos sucesos en la trayectoria de un fotón, caso radial: d\phi = 0
0 = \left(1- \frac{2M}{R} \right) dt^2 - \frac{dr^2}{1- \frac{2M}{R}}
\left(1- \frac{2M}{R} \right) dt^2 = \frac{dr^2}{1- \frac{2M}{R}}
Luego:
\frac{dr}{dt} = \left(1- \frac{2M}{R} \right)
Esto es
\frac{dr}{dt}<1
Recordemos que esto es lo mismo que:
\frac{dr}{dt} = c \left(1- \frac{2GM}{Rc^2} \right)
Es decir
\frac{dr}{dt}<c> dt_F
Visto desde lejos, el tiempo dentro del campo se dilata.
•Distancia radial:
dr_L = dr_F \sqrt{1-\frac{2M}{R}} , o sea que dr_L < dr_F
•La distancia tangencial es la misma.
•Para la velocidad radial tenemos:
V_L = \frac{dr_L}{dt_L} = \frac{dr_F \left( \sqrt{1-\frac{2M}{R}} \right)}{dt_F / \left( \sqrt{1-\frac{2M}{R}} \right)} = V_F \left( 1-\frac{2M}{R} \right)
V_L < V_F
Visto desde fuera cualquier movimiento parece que se produzca a menor velocidad.
•Para la luz (radial):
c_L = 1 \cdot \left( 1-\frac{2M}{R} \right) = \left( 1-\frac{2M}{R} \right)
Es decir: c_L = c \left( 1-\frac{2GM}{Rc^2} \right) <c> f_L
Un rayo emitido desde el interior del campo será recibido fuera del campo con un corrimiento al rojo. Y, al contrario, un fotón aumentará su frecuencia al caer hacia el campo, corrimiento al azul.
iv) Aunque se puede calcular de otras formas, simplemente basándonos en la relación entre frecuencias se ve que en general la relación entre las energías medidas por ambos observadores es:
E_F = \frac{E_L}{\sqrt{1-\frac{2M}{R}}}
v) Si tenemos un observador en caída libre, se diferencia del observador fijo junto al que pasa en cierto momento sólo por su velocidad, por lo que podemos relacionarlos por el factor relativista especial:
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}
vi) El radio de Schwarzschild es R_S = 2M, es decir \frac{2GM}{c^2}. Si el radio de la masa que crea el campo es menor que este radio, nos encontramos con un agujero negro, y en ese radio tenemos un horizonte de sucesos. Es obvio que cuando r \rightarrow R_S el factor de curvatura tiende a cero, 1 - \frac{2M}{r} \quad \rightarrow \quad 0.
Entonces, con las coordenadas de Schwarzschild, en el horizonte de sucesos tenemos problemas, por ejemplo la relación de tiempos:
\frac{dt_L}{dt_F} \rightarrow \infty
es decir, al observador remoto le parecerá que cualquier proceso situado en las proximidades del horizonte se ralentiza infinitamente. Aparentemente nada puede jamás alcanzar y cruzar el horizonte de sucesos.
Este y otros efectos anómalos parecen indicar que el horizonte es una singularidad, sin embargo, con otras coordenadas esta singularidad desaparece, y puede verse que al cuerpo que se acerca al horizonte no le ocurre nada anómalo, lo cruza tranquilamente. Por eso se dice que es una “singularidad coordenada”, es decir que es culpa de estas coordenadas. La única singularidad física está en el centro, pero esa es otra historia.
*+*+*+*+*+*+*+*+*+*
Quedan infinitas cosas en el tintero, pero como introducción sencilla creo que ya está bien.
Ah bueno, se me olvidaba repetirlo ahora todo con tensores:
[Modo Tensor ON]
ds^2 = g_{\mu \nu} dx^{\mu}dx^{\nu}
[/Modo Tensor OFF]
Ya está. :lol:
V. REFERENCIA PRINCIPAL.
Exploring black holes. Introduction to General Relativity. E.F.Taylor y J.A.Wheeler. Ed. Adison Wesley Longman. ISBN 0-201-38423-X
http://www.amazon.co.uk/exec/obidos/ASIN/020138423X/qid=1138139733/sr=1-1/ref=sr_1_2_1/026-8147031-5638067
(No, no tengo comisión).
****************
"Es ist immer angenehm, über strenge Lösungen einfacher Form zu verfügen." (Siempre es agradable disponer de soluciones exactas con forma simple.) Karl Schwarzschild, 1916.
Editado: He cambiado la primera imagen que daba problemas de carga.
Como lo prometido es deuda, ahí va esta pequeña introducción, no a la Relatividad General (como algunos pensaron y yo nunca dije), sino al espacio-tiempo de Schwarzschild. Será sólo un resumen de algunos aspectos útiles. Puede haber errores y muchas cosas susceptibles de explicar o matizar. Apreciaré rectificaciones (pocas), críticas (buenas), preguntas (fáciles), y otras aportaciones relacionadas. También animar a que el que quiera haga algo parecido pero con más rigor… y tensores. (Bueno la verdad es que al final hay tensores). Las matemáticas en este tocho son pocas y simples, y van de más a menos, así que los que las teman que no se desanimen al principio (aunque no hay ninguna dificultad).
I. LA METRICA.
Las ecuaciones de Einstein relacionan la geometría del espacio-tiempo con la distribución de masa-energía-momento (tensor energía-momento). Una de las soluciones más “fáciles” y útiles es aquella que describe el espacio-tiempo alrededor de una distribución de masa con simetría esférica, sin rotación, ni carga. Se trata de la geometría de Schwarzschild. A pesar de que casi siempre se la asocia con agujeros negros, se refiere a cualquier cosa esférica, puede ser un planeta, una estrella o una sandía (sin rabo). Sería interesante poner cómo se halla esta solución, a ver si alguien se anima.
También conviene no confundir “geometrías” con “coordenadas”, una cosa son las geometrías, por ejemplo de Schwarzschild, de Kerr, de Friedmann, etc. , y otra el que dentro de una de esas geometrías usemos diferentes coordenadas, por ejemplo en el caso que nos ocupa existen muchas, como las coordenadas de Schwarzschild, las de Eddington-Finkelstein, Kruskal-Szekeres, y otras. Nosotros nos limitaremos a las primeras, por ser las más intuitivas. (Que sean las únicas que comprendo también ha influído).
No quiero entrar en describir la forma de la geometría de Schwarzschild. Es fácil encontrar referencias en libros o en internet que la describen. Basta con saber que tiene simetría esférica, y que cuando r tiende a infinito, o M tiende a cero, debemos obtener el espacio-tiempo plano. Y también es útil visualizar la curvatura espacial con los típicos diagramas:
http://img5.imageshack.us/img5/3641/blackhole11rr.jpg (http://imageshack.us)
http://img84.imageshack.us/img84/1368/blackhole22he.jpg (http://imageshack.us)
Bueno, vamos a lo nuestro, entre otras formas se puede poner la métrica de Schwarzschild como:
ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right)(cdt)^2 + \frac{dr^2}{1-\frac{2GM}{rc^2}} + r^2(d\theta^2+\sin^2{\theta}\ d\phi^2)
Usaremos G = c = 1 para simplificar. Recordad que, a partir de ahora,
cuando aparezca \frac{2M}{r} se trata de \frac{2GM}{rc^2} , luego:
ds^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 + \frac{dr^2}{1-\frac{2M}{r}} + r^2(d\theta^2+\sin^2{\theta}\ d\phi^2)
t es el “tiempo coordinado”, se refiere al tiempo según el observador remoto, al que no afecta la gravedad. (Siendo estrictos tendríamos que evitar decir campo o gravedad y hablar sólo de curvatura, pero es más cómodo seguir con la jerga clásica).
r es el “radio coordinado”, el obtenido al dividir la longitud de la circunferencia (si nos ceñimos a un plano como luego haremos) alrededor de la masa entre 2\pi. Sería el radio si no hubiera curvatura, pero como la hay, y además no podemos medir directamente la distancia radial hasta el centro de la esfera, esta definición nos permite definir r sin ambigüedad.
Con \theta y \phi son lo que parecen.
Podríamos seguir a partir de esa forma de la métrica, pero mejor si simplificamos más considerando sólo lo que ocurra en el ecuador (como no hay rotación eso no nos afectará demasiado, casi siempre podremos fijar el ecuador donde queramos), entonces nos queda:
ds^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 + \frac{dr^2}{1-\frac{2M}{r}} + r^2 d\phi^2
Como sabemos de la Relatividad Especial hay tres tipos de separación (o intervalo):
a) De tipo temporal, es el que separa dos sucesos que se pueden unir a cierta velocidad menor que c, por ejemplo, dos situados en la línea del universo de un cuerpo o partícula con masa. Para esa partícula su separación será puramente temporal, y su tiempo será propio. Se cumple que ds^2 = -d\tau^2, luego la métrica queda:
d\tau^2 = \left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 - \frac{dr^2}{1-\frac{2M}{r}} - r^2 d\phi^2
Versión temporal de la métrica de Schwarzschild (timelike).
b) De tipo espacial, separa dos sucesos tales que para unirlos haría falta superar c, es decir, dos sucesos cuya distancia espacial no puede recorrerse con su diferencia temporal correspondiente. Siempre habrá un sistema de referencia en que podemos anular esa diferencia temporal y considerar simultáneos ambos sucesos, con lo cual estaremos hablando de una “distancia propia”.
d\sigma^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 + \frac{dr^2}{1-\frac{2M}{r}} + r^2 d\phi^2
Versión espacial de la métrica de Schwarzschild (spacelike).
c) De tipo luz, los que se relacionan mediante la velocidad c. Para la luz la parte temporal se compensa con la espacial dando una separación nula. Como la separación vale cero se llama también de tipo nulo, luego se cumple que:
0 = \left(1- \frac{2M}{R} \right) dt^2 - \frac{dr^2}{1- \frac{2M}{R}} - r^2 d\phi^2
II. ESPACIO, TIEMPO, VELOCIDAD DE LA LUZ.
Como diría jjo, la información sobre las distancias y los intervalos de tiempo está codificada en la métrica, así que podemos usar estos casos particulares de la métrica (aunque podríamos haber partido de la métrica completa) para estudiar las relaciones más sencillas entre tiempos, distancias, y de paso ver qué pasa con la velocidad de la luz.
1.- Dos sucesos en reposo. Aquí dr = d\phi = 0 , luego con la métrica temporal tendremos:
d\tau^2 = \left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2
y de ahí:
d\tau = \sqrt{1-\frac{2M}{r}}dt
Como \sqrt{1-\frac{2M}{r}} < 1
resultará que d\tau <dt> dr
Dentro del campo la distancia radial medida in situ es mayor que para el observador remoto. Como hemos insinuado antes, no es la longitud de la circunferencia (que rodea la masa) dividida por 2\pi.
3.- Dos sucesos simultáneos, separados una distancia puramente tangencial. Ahora dt = dr = 0 , luego la métrica espacial nos da:
d\sigma^2 = r^2 d\phi^2
d\sigma = r d\phi
La distancia tangencial es la misma para el que está dentro del campo que para el alejado. (No aparece el factor de curvatura).
4.- Dos sucesos en la trayectoria de un fotón, caso radial: d\phi = 0
0 = \left(1- \frac{2M}{R} \right) dt^2 - \frac{dr^2}{1- \frac{2M}{R}}
\left(1- \frac{2M}{R} \right) dt^2 = \frac{dr^2}{1- \frac{2M}{R}}
Luego:
\frac{dr}{dt} = \left(1- \frac{2M}{R} \right)
Esto es
\frac{dr}{dt}<1
Recordemos que esto es lo mismo que:
\frac{dr}{dt} = c \left(1- \frac{2GM}{Rc^2} \right)
Es decir
\frac{dr}{dt}<c> dt_F
Visto desde lejos, el tiempo dentro del campo se dilata.
•Distancia radial:
dr_L = dr_F \sqrt{1-\frac{2M}{R}} , o sea que dr_L < dr_F
•La distancia tangencial es la misma.
•Para la velocidad radial tenemos:
V_L = \frac{dr_L}{dt_L} = \frac{dr_F \left( \sqrt{1-\frac{2M}{R}} \right)}{dt_F / \left( \sqrt{1-\frac{2M}{R}} \right)} = V_F \left( 1-\frac{2M}{R} \right)
V_L < V_F
Visto desde fuera cualquier movimiento parece que se produzca a menor velocidad.
•Para la luz (radial):
c_L = 1 \cdot \left( 1-\frac{2M}{R} \right) = \left( 1-\frac{2M}{R} \right)
Es decir: c_L = c \left( 1-\frac{2GM}{Rc^2} \right) <c> f_L
Un rayo emitido desde el interior del campo será recibido fuera del campo con un corrimiento al rojo. Y, al contrario, un fotón aumentará su frecuencia al caer hacia el campo, corrimiento al azul.
iv) Aunque se puede calcular de otras formas, simplemente basándonos en la relación entre frecuencias se ve que en general la relación entre las energías medidas por ambos observadores es:
E_F = \frac{E_L}{\sqrt{1-\frac{2M}{R}}}
v) Si tenemos un observador en caída libre, se diferencia del observador fijo junto al que pasa en cierto momento sólo por su velocidad, por lo que podemos relacionarlos por el factor relativista especial:
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}
vi) El radio de Schwarzschild es R_S = 2M, es decir \frac{2GM}{c^2}. Si el radio de la masa que crea el campo es menor que este radio, nos encontramos con un agujero negro, y en ese radio tenemos un horizonte de sucesos. Es obvio que cuando r \rightarrow R_S el factor de curvatura tiende a cero, 1 - \frac{2M}{r} \quad \rightarrow \quad 0.
Entonces, con las coordenadas de Schwarzschild, en el horizonte de sucesos tenemos problemas, por ejemplo la relación de tiempos:
\frac{dt_L}{dt_F} \rightarrow \infty
es decir, al observador remoto le parecerá que cualquier proceso situado en las proximidades del horizonte se ralentiza infinitamente. Aparentemente nada puede jamás alcanzar y cruzar el horizonte de sucesos.
Este y otros efectos anómalos parecen indicar que el horizonte es una singularidad, sin embargo, con otras coordenadas esta singularidad desaparece, y puede verse que al cuerpo que se acerca al horizonte no le ocurre nada anómalo, lo cruza tranquilamente. Por eso se dice que es una “singularidad coordenada”, es decir que es culpa de estas coordenadas. La única singularidad física está en el centro, pero esa es otra historia.
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Quedan infinitas cosas en el tintero, pero como introducción sencilla creo que ya está bien.
Ah bueno, se me olvidaba repetirlo ahora todo con tensores:
[Modo Tensor ON]
ds^2 = g_{\mu \nu} dx^{\mu}dx^{\nu}
[/Modo Tensor OFF]
Ya está. :lol:
V. REFERENCIA PRINCIPAL.
Exploring black holes. Introduction to General Relativity. E.F.Taylor y J.A.Wheeler. Ed. Adison Wesley Longman. ISBN 0-201-38423-X
http://www.amazon.co.uk/exec/obidos/ASIN/020138423X/qid=1138139733/sr=1-1/ref=sr_1_2_1/026-8147031-5638067
(No, no tengo comisión).
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"Es ist immer angenehm, über strenge Lösungen einfacher Form zu verfügen." (Siempre es agradable disponer de soluciones exactas con forma simple.) Karl Schwarzschild, 1916.
Editado: He cambiado la primera imagen que daba problemas de carga.