Pregunta de Mecánica

[Tessla]

Por favor, ayudadme a obtener el valor, de modo elegante, de la deribada respecto del espacio, ds, de los vectores que conforman el triedro de frenet.
Gracias.

[leach]

Esta pregunta no es estrictamente mecánica, sino de geometría diferencial. Si tienes una curva \gamma(t) en el espacio, diferenciable y regular (es decir, que la puedes derivar indefinidamente y tal que su derivada primera nunca es cero), entonces puedes reparametrizar esa curva por su longitud de arco s, definida:

s(t) \quad = \quad \int_0^t\, \left\Vert\frac{d\gamma}{dt}\right\Vert\

Que puedes hacer esta reparametrización está garantizado por ser \gamma regular. Así pues, podemos hablar de la curva \gamma parametrizada por su longitud de arco, es decir, \gamma(s).

Ahora es sencillo calcular el triedro de Frenet, puesto que con respecto al parámetro s, la curva \gamma es recorrida a velocidad unitaria. Tenemos que el vector tangente a la curva es:

\vec{t} \quad = \quad \frac{d\gamma}{ds}

Además, como \vec{t} es unitario, su derivada será perpendicular a \vec{t}, así que definimos el vector normal como un vector unitario con la misma dirección y sentido que la segunda derivada de \gamma respecto a la longitud de arco:

\vec{n} \quad = \quad \frac{1}{k}\,\frac{d^2\gamma}{ds^2}

es decir:

\frac{d^2\gamma}{ds^2} \quad = \quad k\,\vec{n}

La función k(s) es el módulo de la segunda derivada de \gamma respecto a la longitud de arco, y se conoce como curvatura.

Finalmente, para completar el triedro necesitamos un vector perpendicular a \vec{t} y \vec{n}. Este vector se conoce como binormal, y hay dos elecciones para él, siendo la más común:

\vec{b} \quad = \quad \vec{t}\times \vec{n}

Por lo tanto, el triedro de Frenet está formado por los tres vectores ortogonales: \vec{t},\, \vec{n},\, \vec{b}.

Además, al construir el triedro ya tenemos una de las ecuaciones de Frenet:

\frac{d\vec{t}}{ds}\quad = \quad k\, \vec{n}.

Calculemos las derivadas que nos faltan:

1)La derivada del binormal. Usando la definición:

\frac{d\vec{b}}{ds} \quad = \quad \frac{d\vec{t}}{ds}\times \vec{n} \ + \ \vec{t}\times\frac{d\vec{n}}{ds} \quad = \quad
k\, \frac{d\vec{t}}{ds}\times\frac{d\vec{t}}{ds}\ + \ \vec{t}\times{\frac{d\vec{n}}{ds}} \quad = \quad
\vec{t}\times{\frac{d\vec{n}}{ds}}


Ahora observa que, como sucede siempre, la derivada de un vector de módulo constante es siempre perpendicular a ese vector. Eso quiere decir que la derivada del normal es combinación lineal del tangente y el binormal, es decir, que existen ciertas funciones \alpha, \beta tales que:

\frac{d\vec{n}}{ds}\quad = \quad \alpha\,\vec{t} \ + \ \beta\, \vec{b}

Sustituyendo, tenemos:


\frac{d\vec{b}}{ds}\quad = \quad \vec{t}\times\left(\alpha\,\vec{t} \ + \ \beta\, \vec{b}\right) \quad = \quad \beta\, \vec{t}\times\vec{b}
\quad = \quad -\beta\, \vec{n}


Es decir, que la derivada del binormal respecto a la longitud del arco es proporcional al normal. A esta constante de proporcionalidad se la denomina torsión, y se denota \tau. Así que redefiniendo la constante, tenemos:

\frac{d\vec{b}}{ds} \quad = \quad \tau\, \vec{n}

Esta es otra de las ecuaciones de Frenet.


2) La derivada del normal. Esta ya es muy fácil, puesto que podemos escribirla como producto vectorial:

\vec{n} \quad = \quad \vec{b}\times\vec{t}

derivando:

\frac{d\vec{n}}{ds} \quad = \quad
\frac{d\vec{b}}{ds}\times\vec{t} \ + \ \vec{b}\times\frac{d\vec{t}}{ds} \quad = \quad
\tau\, \vec{n}\times\vec{t} \ + \ k\,\vec{b}\times\vec{n}
\quad = \quad
-\tau\, \vec{b} \ + \ -k\,\vec{t}

Hemos aplicado las dos ecuaciones de Frenet que habíamos obtenido inicialmente. El resultado es la tercera ecuación de Frenet:

\frac{d\vec{n}}{ds} \quad = \quad
-\tau\, \vec{b} \ + \ -k\,\vec{t}


Reuniéndolas todas:

\left. \begin{array}{ccccc}
\frac{d\vec{t}}{ds} & \quad = \quad & &k\,\vec{n}\\ \\
\frac{d\vec{n}}{ds} & \quad = \quad & -k\,\vec{t} & & -\tau\, \vec{b}\\ \\
\frac{d\vec{b}}{ds} & \quad = \quad & & \tau\, \vec{n}
\end{array}\right\}

Esto se puede poner en forma matricial:

\frac{d}{ds}\, \left[\begin{array}{c}{\vec{t} \\ \vec{n} \\ \vec{b}\end{array}\right] \quad = \quad
\left[\begin{array}{ccc} 0 & k & 0 \\ -k & 0 & -\tau \\ 0 & \tau & 0
\end{array}\right] \,
\left[\begin{array}{c}{\vec{t} \\ \vec{n} \\ \vec{b}\end{array}\right]


Como puedes ver, las tres ecuaciones son lineales, y se pueden poner en forma matricial, siendo la matriz antisimétrica. Es decir, que la derivada del triedro de Frenet respecto a la longitud del arco es una rotación infinitesimal de dicho triedro. Este resultado es absolutamente natural, si se piensa un poco: según vamos avanzando a lo largo de la curva, el triedro va rotando para adaptarse a ella. Este concepto puede enlazarse con la noción de transporte de Fermi-Walker, de bastante interés en física teórica.

:h: