Sopa de bosones sin masa [sobre la masa de los fotones]

[leach]

Bueno, en tres foros de física que he mirado (migui, 100cia, peri phiseon) ha salido la cuestión de si los fotones tienen masa o no. En el de 100cia, y bajo el nombre de hetzer, he tenido una discusión algo acalorada sobre el tema. Aprovechando que este foro tiene LaTeX, me gustaría tratar de resolver el problema cosmológico para una sopa isótropa de bosones sin masa, de densidad constante.

Esto es un experimento de viernes por la noche, así que espero que si alguien se toma la molestia de leer esto, sea tolerante. La intención es ver hasta qué punto puede curvar el espacio una sopa de partículas que se mueven a la velocidad de la luz.

Por comodidad, supondremos que el spin de las partículas que componen la sopa es 0. En otras palabras, que no haremos ningún argumento relativo a un spin intrínseco en la sopa.

1-. El tensor de energía-impulso.

Supongamos que en el espacio-tiempo tenemos una sopa de partículas que no interactúan entre sí de ninguna manera, y que se mueven a la velocidad de la luz. Supongamos además que esta sopa es isótropa, es decir, que su densidad es invariante por rotaciones desde cualquier punto.

El tensor de energía-impulso , en versión mixta, tiene que ser invariante por rotaciones. Esto implica directamente que sus componentes espaciales son proporcionales a la matriz identidad, y que las componentes mixtas son idénticamente nulas. Así que hasta ahora:



donde sólo puede ser la densidad energética de la sopa, y es el múltiplo de la identidad derivado de la isotropía espacial.

Bien, ahora supongamos que estamos en un sistema de referencia inercial, relativo a la sopa. Si hacemos cualquier cambio del sistema de referencia inercial, la sopa debe seguir siendo isótropa, porque se mueve a la velocidad de la luz, así que su velocidad no podrá variar tras el cambio de sistema. En otras palabras, la componenete espacial del tensor de energía impulso no puede romper su isotropía por "boost" en cualquier dirección. Aplicando un "boost" al eje x al tensor de arriba, se comprueba de inmediato que esto significa que .

Por lo tanto, para una sopa isótropa de bosones a la velocidad de la luz, el tensor de energía impulso es diagonal, y proporcional a la densidad energética. Se comprueba de inmediato que este tensor es de hecho invariante por cualquier transformación de Lorentz.

Estos razonamientos de invarianza parecen indicar entonces que . Comparando esta expresión con el tensor (35.1) de Landau y Lifshitz, "Teoría clásica de Campos", está claro que la expresión es plausible (notar que en el Landau el tensor es covariante, no mixto como aquí).


2-. Resolviendo las ecuaciones del campo gravitatorio.

Voy a seguir muy de cerca el Landau y Lifshitz, "Teoría clásica de los campos", Capítulo 12. Citaré bastantes ecuaciones de allí, por ejemplo (107.2), mientras trato de encontrar una solución para las ecuaciones de campo.

Tratemos de resolver las ecuaciones de campo para el modelo isótropo cerrado. Como es común, suele ponerse el radio del universo en función del tiempo universal . Esto se logra introduciendo el cambio de variables (107.3):

donde es una variable ficticia que viene muy bien para simplificar los cálculos. Ahora, resolviendo las ecuaciones de campo para el modelo isótropo cerrado, usando el cambio de variables anterior, se obtiene [ver ecuaciones desde (107.4) hasta (107.5)]:



Donde las derivadas son respecto a . Bueno, hasta ahora nos vamos salvando: si tenemos en cuenta que la ecuación de Einstein es:



En nuestro caso el tensor de energía-impulso es diagonal, proporcional a la identidad; observando las ecuaciones de arriba, también el tensor de Einstein es diagonal, y casi proporcional a la identidad. Así que por ahora la cosa podría funcionar. Operando para obtener las ecuaciones de Einstein, se tienen las dos ecuaciones diferenciales:



Muy bien, podemos restar las dos ecuaciones diferenciales para eliminar el término en y así obtener:



Lo cual parece prometedoramente fácil. De hecho, puede resolverse esta ecuación (confieso que lo hice con Maple) para obtener:



donde son constantes de integración. Como estoy buscando una solución particular, me voy a permitir hacer , (esto de la cuarta potencia lo explicamos luego) y en ese caso es sencillo simplificar la fórmula:




Con otra licencia poética, vamos a tomar la raíz cuadrada positiva, para obtener:



Bueno, ha habido bastante suerte con la integración. Es interesante comparar esta fórmula con la (107.9) del Landau. Haciendo igual que en el libro, tratemos de poner el "radio" en función del tiempo universal . Para ello es conveniente usar la relación que supusimos más arriba, lo que reduce el problema a una simple integración respecto a . Obtenemos:



Como ya me voy acostumbrando a hacer de dios, voy a hacer en mi universo de mierda. En estas condiciones, podemos poner fácilmente en función de (suma ecuacuones, toma un arcocoseno, y sustituye en la primera):



Es decir, que y van recorriendo una circunferencia de radio (por esto la cuarta potencia), desde una singularidad inicial hasta un colapso final. Como nota curiosa, esto es bastante parecido al caso de la sopa de materia, en el que so obtiene una cicloide (107.10).

Podemos decir, siempre que no haya metido la pata en algún cálculo por ahí detrás, que el caso de la sopa de bosones disparaos es el límite de la cicloide, en el cual los arcos de cicloide son perfectamente circulares. Además, cuando estamos lejos de las singularidades inicial y final, el universo sigue unas leyes de curvatura muy semejantes a las de la cicloide.


3-. Y todo esto para qué.

Bueno, tenía ganas de hacerlo, pero además me parece importante destacar que una sopa de partículas sin masa tiene suficiente influencia gravitatoria como para curvar el universo, como si de materia normal se tratase. En la discusión sobre las diferencias entre masa inercial y masa gravitatoria, hay que tener en cuenta que la masa de inercia toma parte en la componente del tensor de energía-impulso, pero que en esta componente también tiene un papel fundamental la energía cinética. Así que en primera aproximación,



De esta manera, aunque un cuerpo caliente formado por partículas tiene de masa inercial la suma de las masas inerciales de sus componentes, la masa gravitatoria del conjunto tiene añadida una "masa" gravitatoria derivada de la energía de las partículas.

Bueno, pues eso es lo que quería contar. Espero que no haya sido mucho rollo, y si he metido la pata por algún lado, ponedme a parir que me lo merezco.

[MiGUi]

Jajaja leach cada día me sorprendes. Tú también te sabes el índice de los Landau de memoria?

Bueno bromas aparte, creo que es un tema muy importante y lo voy a poner de Post-it para que quede para futuras referencias al tema. Espero que quienes puedan aportar algo más lo hagan.

Saludos :hola:

[jjo]

Como ya me voy acostumbrando a hacer de dios, voy a hacer en mi universo de mierda

De hecho, el universo fue dominado por la radiación hasta un desplazamiento al rojo z ~ 30.000, por lo que con ese calificativo resultamos ser todos un subproducto fecal... :s:

[graviton]

Bien Leach, pero una duda me corroe.

Bien, ahora supongamos que estamos en un sistema de referencia inercial, relativo a la sopa. Si hacemos cualquier cambio del sistema de referencia inercial, la sopa debe seguir siendo isótropa, porque se mueve a la velocidad de la luz, así que su velocidad no podrá variar tras el cambio de sistema. En otras palabras, la componenete espacial del tensor de energía impulso no puede romper su isotropía por "boost" en cualquier dirección. Aplicando un "boost" al eje x al tensor de arriba, se comprueba de inmediato que esto significa que .

No entiendo el por qué de todo esto. Si para un observador inercial hay isotropía para otro no la habrá, por culpa del Doppler; ¿el segundo no verá corrimiento al rojo en un sentido, y al azul en el contrario? En el tensor energía-momento, ¿qué es invariante y qué no lo es?

Además la sopa no va a C, quien va a C son los fotones individuales. Se podría hablar de un sistema en reposo respecto a la sopa como en el caso del fondo cósmico de microondas, ¿o lo que tu planteas es diferente?

Aclárame estos aspectos que no tengo claros, seguramente por mi incapacidad fisico-matemática.

[DeepField]

Hola a todos

Leach, como me habrás leído de sobra en 100cia y ya sabes mi postura, no voy a enrollarme aquí con lo mismo, pero en este caso básicamente tengo las mates y la física de primero tan oxidadas que nunca podría hacerte frente

Creo que en estos foros se nota de sobra que lo mío son los planteamientos no-matemáticos, jejeje. Además no voy a entrar a saco con lo de que re-definas masa

Saludos

[leach]

Hola, amigos.

Tengo una metida de pata en un cálculo:



Pero que no afecta a la existencia de soluciones a las ecuaciones de campo para este caso. De todas formas, este error me lleva a pensar que las soluciones para el modelo abierto deben ser más sencillas que para el modelo cerrado (la ecuación de arriba sería cierta para funciones hiperbólicas). En cuanto reúna algo de tiempo y ganas, lo antes posible, voy a recalcularlo todo para los dos modelos, intentando encontrar soluciones sencillas, que es el mayor problema.

No entiendo el por qué de todo esto. Si para un observador inercial hay isotropía para otro no la habrá, por culpa del Doppler; ¿el segundo no verá corrimiento al rojo en un sentido, y al azul en el contrario? En el tensor energía-momento, ¿qué es invariante y qué no lo es?

Bueno, esto me lleva reconcomiendo una buena temporada. El tensor de energía-impulso intento construirlo por motivos de simetría. En primer lugar, suponemos que puede existir esa sopa isótropa de partículas sin masa en al menos un sistema de referencia. Entonces, se obtiene directamente la matriz diagonal con q y w. Ahora tenemos que tomar aquella matriz que corresponde a un gas que viaja a la velocidad de la luz. Bien, si , se puede encontrar un sistema inercial desde el que la presión de la sopa es cero, y su momento es no nulo. Ahora bien, pienso que en una sopa de partículas que van a la velocidad de la luz, la presión de radiación nunca puede ser nula. Pero puedo equivocarme.

Otro razonamiento, bastante curioso. Si hacemos , entonces la presión es isótropa igual a , y la densidad de energía es también . Bueno, si calculamos el trabajo que ejercería la sopa al expandirse radialmente, obtenemos:



y si calculamos la densidad de energía de la sopa en esa esfera, tenemos naturalmente . De manera que, si tomamos el límite cuando del cociente entre las energías, obtenemos 1.

Esto se interpreta, creo yo, diciendo que toda la energía de la sopa se expresa en la forma de presión, en cualquier sistema de referencia, y creo que es lo que corresponde a una sopa de partículas a la velocidad de la luz, sin masas en reposo. Ten en cuenta que esas partículas a la velocidad de la luz no tienen por qué ser fotones, u ondulatorias, y que por eso el efecto Doppler no tendría por qué aplicarse. Además, una distribución homogénea de frecuencias en todo el espectro, en teoría, podría tener un efecto Doppler despreciable, dado que al no haber picos de frecuencia, no se podrían detectar variaciones de la misma. Esto plantea problemas de convergencia, por otro lado.

De todos modos, estás poniendo el dedo en una de las llagas de este problema: conjeturo un tensor de energía-impulso, por motivos geométricos, pero no estoy seguro de cómo debe ser. Mi post inicial era más una invitación a la discusión (leches, parezco Paulino), antes que un postulado.

Leach, como me habrás leído de sobra en 100cia y ya sabes mi postura, no voy a enrollarme aquí con lo mismo, pero en este caso básicamente tengo las mates y la física de primero tan oxidadas que nunca podría hacerte frente

Pues ya ves la metida de pata que he cometido por escribir sin revisar mis cálculos. Nada que invalide el resultado, por suerte, pero aun así me duele bastante.

De todos modos, la física es más sentido común que matemáticas, y si no que le pregunten a Einstein, que con tres razonamientos elementales se sacaba resultados que yo no podría sacar con las matemáticas (no muchas) que domino.

[Vijande]

Esto es un experimento de viernes por la noche, así que espero que si alguien se toma la molestia de leer esto, sea tolerante. La intención es ver hasta qué punto puede curvar el espacio una sopa de partículas que se mueven a la velocidad de la luz.

Por comodidad, supondremos que el spin de las partículas que componen la sopa es 0. En otras palabras, que no haremos ningún argumento relativo a un spin intrínseco en la sopa.

Espera un momento, antes de seguir que luego me pierdo. Si no te he entendido mal me estas dando la definicion de un fluido perfecto (con particulas, pero me da igual) en relatividad general, creo.....pero en ese caso el tensor de energia-impulso no tiene porque ser diagonal, seria:



donde es un "campo de densidades propias" (que mal suena traducido), es un campo escalar de presiones, es la metrica y las son las cuadrivelocidades.

[leach]

Espera un momento, antes de seguir que luego me pierdo. Si no te he entendido mal me estas dando la definicion de un fluido perfecto (con particulas, pero me da igual) en relatividad general, creo.....pero en ese caso el tensor de energia-impulso no tiene porque ser diagonal, seria:



donde es un "campo de densidades propias" (que mal suena traducido), es un campo escalar de presiones, es la metrica y las son las cuadrivelocidades.

Hola, Vijande .

En efecto, el tensor que encuentro representa un fluido perfecto. El problema de los tensores no diagonales es que no son isótropos, y en la medida de lo posible me gustaría encontrar soluciones isótropas, al menos desde un sistema de referencia, para compararlas con las otras soluciones cosmológicas.

La forma del tensor de energía-impulso que he propuesto tiene toda la pinta de representar algo parecido a la polarización del vacío: una especie de densidad de energía universal, isótropa, y que consiste únicamente en una presión. La pregunta de Gravitón acerca del desplazamiento hacia el rojo pone el problema en perspectiva: si la polarización del vacío tuviera una frecuencia distinguida, nos permitiría diferenciar sistemas inerciales, y por tanto haría un papel semejante al del éter. Ahora, la cuestión para la sopa de bosones es más o menos la misma: una sopa de esas partículas, totalmente isótropa, ¿no tendrá más remedio que expresarse con un tensor proporcional a la identidad?

Si usamos la fórmula que propones:



El término de las cuadrivelocidades, suponiendo que representa a partículas que se propagan a la velocidad de la luz, es imposible de diagonalizar. Luego nunca tendrá una estructura isótropa, y eso complica mucho las soluciones cosmológicas, y la comparación con la materia.

Ese es desde mi punto de vista el principal problema: para lograr un tensor isótropo, hay que eliminar, al menos en un sistema de referencia, las componentes no diagonales. Y una vez allí, la única manera de que el tensor represente un gas de partículas a la velocidad de la luz, parece ser haciendo un múltiplo de la identidad.

¿Alguna idea sobre si esto es correcto, o hay una forma isótropa más conveniente?

[Ithaqua]

Un saludo a todos

Bueno, pues aqui esta otro de los que faltaba en la discusion acalorada de 100cia, ahora algo mas aclarado una vez que tenemos formulas

Leach, ahora que exactamente se por donde llevas los tiros te hare un par de puntualizaciones, una sobre mis comentarios del otro dia y otras sobre tus formulas

En primer lugar, por si se me mallinterpreto el otro dia, un gas de fotones, o de cualquier tipo de particulas sin masa, tienen contribucion al tensor energia impulso, y por tanto afectan la estructura del espacio-tiempo

Sobre tus calculos
Me parece, corrigeme si me equivoco, que quieres llegar a una expresion parecida a las que se obtienen para polvo estelar (esto lo digo de memoria no me pegueis) para encontrar algun tipo de equivalencia con lo que en ellos aparece como masa, la idea me parece buena, pero no creo que el nombre de masa (aunque sea gravitatoria sea correcto)

Me explico,

Desde un punto de vista extricto, no se puede hablar de diferentes tipos de masa en Relatividad General, puesto que todas las masas que aparecen en Relatividad General unicamente se consideran como generadoras de la metrica, no se considera que actue sobre ellas niinguna fuerza ni la aparicion de dinamica, por ello de la masa que se esta hablando en Relatividad General es de la masa gravitatoria activa, no de masa inercial, por ello no me parece adecuado en ningun momento redefinir masa gravitatoria cuando ya es la que se emplea.
En segundo lugar tampoco me parece una buena nomenclatura, ya que al estudiar el limite newtoniano de la Relatividad general se deben recuperar las definiciones Newtonianas, y con estas redefiniciones no se recuperarian.

Por ultimo me gustaria hacerte notar que la redefinicion que haces de masa gravitatoria:


se corresponde (salvo constantes) con el desarrollo no relativista a primer orden de la energia total de una particula libre, o, en el caso de una particula sin masa (inercial para seguir tu nomenclatura) con su energia total, lo que creo que es otra razon para no darle otro nombre cuando ya lo tiene

[MiGUi]

Bienvenidos, Ithaqua y Vijande

[leach]

Bueno, pues aqui esta otro de los que faltaba en la discusion acalorada de 100cia, ahora algo mas aclarado una vez que tenemos formulas

Hola Ithaqua. Tenemos fórmulas, y no tenemos Paulino & co. El paraíso .

Leach, ahora que exactamente se por donde llevas los tiros te hare un par de puntualizaciones, una sobre mis comentarios del otro dia y otras sobre tus formulas

En primer lugar, por si se me mallinterpreto el otro dia, un gas de fotones, o de cualquier tipo de particulas sin masa, tienen contribucion al tensor energia impulso, y por tanto afectan la estructura del espacio-tiempo

Ok, creo que queríamos decir más o menos de lo mismo, pero no nos entendíamos. El primero en darse cuenta fue Vijande.

Me parece, corrigeme si me equivoco, que quieres llegar a una expresion parecida a las que se obtienen para polvo estelar (esto lo digo de memoria no me pegueis) para encontrar algun tipo de equivalencia con lo que en ellos aparece como masa, la idea me parece buena, pero no creo que el nombre de masa (aunque sea gravitatoria sea correcto)

Exacto, pero me las estoy viendo negras para entender por qué un gas de partículas de masa nula tiene que comportarse como la polarización del vacío, o si no, ser anisótropo.

Desde un punto de vista extricto, no se puede hablar de diferentes tipos de masa en Relatividad General, puesto que todas las masas que aparecen en Relatividad General unicamente se consideran como generadoras de la metrica, no se considera que actue sobre ellas niinguna fuerza ni la aparicion de dinamica, por ello de la masa que se esta hablando en Relatividad General es de la masa gravitatoria activa, no de masa inercial, por ello no me parece adecuado en ningun momento redefinir masa gravitatoria cuando ya es la que se emplea.
En segundo lugar tampoco me parece una buena nomenclatura, ya que al estudiar el limite newtoniano de la Relatividad general se deben recuperar las definiciones Newtonianas, y con estas redefiniciones no se recuperarian.

Sí que es verdad que mi definición, sin duda, separa totalmente la masa inercial de la masa gravitatoria: ya no son iguales, y eso es muy antiestético, puesto que el principio de equivalencia se basa en su igualdad. Como decía Vijande, es una cuestión de definiciones. Y no se me ocurre una buena definición de masa gravitatoria: quizás sea mejor no meterse a definirla.

Por ultimo me gustaria hacerte notar que la redefinicion que haces de masa gravitatoria:


se corresponde (salvo constantes) con el desarrollo no relativista a primer orden de la energia total de una particula libre, o, en el caso de una particula sin masa (inercial para seguir tu nomenclatura) con su energia total, lo que creo que es otra razon para no darle otro nombre cuando ya lo tiene

Sí, tienes razón. Estaba pensando en como aproximación newtoniana. En este caso, la masa gravitatoria es un pseudoescalar (por ser componente de un tensor), y eso es lo que no me gusta de esta noción de masa gravitatoria. Pero tiene mala solución.

[graviton]

Ni domino el tema, ni me sobra el tiempo, así que seguiré el camino fácil de dar alguna referencia sobre el tema:

http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/9712/9712019.pdf

Traducción libre y resumida de un fragmento revelador (página 29):
"Una definición general de es "el flujo de cuatrimomento a través de una superficie de constante". Concretando, consideremos la categoría general de materia caracterizable como un fluido -un contínuo de materia descrito por cantidades macroscópicas tales como temperatura, presión, entropía, viscosidad, etc. Pero esta definición es demasiado general para ser útil. En RG esencialmente todos los tipos de materia interesantes pueden considerarse como 'fluidos perfectos', desde las estrellas a los campos electromagnéticos o incluso el universo entero. Schutz define un fluido perfecto como aquel que no tiene conducción de calor ni viscosidad, mientras que Weinberg lo define como aquel que parece isótropo en su sistema de referencia en reposo; estos dos puntos de vista resultan ser equivalentes. Operacionalmente, consideraremos un fluido perfecto como aquel completamente caracterizado por su presión, y su densidad ."

Luego explica como obtener el tensor energía-momento para un fluido perfecto en su sistema en reposo:


o, de forma invariante, la fórmula que daba Vijande (más o menos):



Esto vale para cualquier fluido ideal de partículas; sólo a posteriori se puede considerar el caso de que se desplacen a C, en este caso particular se cumple que . Esto último se explica por ejemplo en el Schutz (A first course...).

La fórmula de Vijande da lugar a la matriz "en reposo" porque en ese sistema , ¿no? con lo que se anulan todas las componentes no diagonales. Pero puedo equivocarme porque los tensores no son lo mio.

En cuanto a que el fluido ideal sea isótropo en un sistema y no en otro, aparte del efecto Doppler, tal vez fuera más apropiado pensar en la aberración. Si el observador se mueve respecto al sistema en reposo verá que le llegan diferente número de partículas en cada dirección.

En cuanto a qué llamar masa no quiero meterme mucho, pero por ejemplo en el Schutz (pag.110) se dice que el término en Relatividad juega el rol de "densidad de masa inercial".

[Vijande]

¿Alguna idea sobre si esto es correcto, o hay una forma isótropa más conveniente?

Vaya por delante que yo soy un pobre Nuclear, como mi relatividad general esta un poco oxidada he tenido que bucear en mis libros de texto para no meter la pata. Lo que sigue tambien se puede encontrar en el D'Inverno (pag 322).

Cuando te construyes las ecuaciones de Friedmann para estudiar cosmologia relativista tomas tres ingredientes principales para construir tu universo:

a) Metrica de Robertson-Walker.

b) Postulado de Weyl, que requiere que el substrato sea un fluido perfecto.

c) Relatividad general, con constante cosmologica incluida,

Al final, despues de un poco de calculo (me encanta esa expresion) llegas a una serie de ecuaciones diferenciales (22.50 y 22.51 en el libro) en las cuales aplicas homogeneidad e isotropia. Pero en ese calculo homogeneidad e isotropia unicamente implican que y solo puedan ser funcion de . Al definir un substrato material al universo a traves de un fluido perfecto isotropia unicamente parece requerir que estas magnitudes no dependan del punto a considerar, pero nada mas... Por lo que sigo sin ver que isotropia implica un tensor de energia-momento diagonal.... Seguramente se me este escapando algo muy basico, pero no lo acabo de ver

[Vijande]

En cuanto a qué llamar masa no quiero meterme mucho, pero por ejemplo en el Schutz (pag.110) se dice que el término en Relatividad juega el rol de "densidad de masa inercial".

Y en el D'Inverno el de una "densidad de energia relativista"

[jjo]

Por lo que sigo sin ver que isotropia implica un tensor de energia-momento diagonal.... Seguramente se me este escapando algo muy basico, pero no lo acabo de ver

Si hay isotropía no hay flujo de momento en ninguna dirección, por lo que T ha de ser diagonal.

[jjo]

Respecto del primer post, y dejando de lado el aspecto cosmológico que me parece correcto, creo que si uno acepta hablar de masa gravitacional está hablando en términos newtonianos. De hecho, la forma de definir la masa gravitacional es a distancia suficiente viendo qué valor es el que proporciona órbitas keplerianas (Schutz, capítulo 8). Una vez aceptado que se quiere hablar en términos newtonianos, el principio de equivalencia hay que formularlo como la equivalencia entre masas. Por tanto, no veo cómo se puede justificar el resultado obtenido donde las masas gravitacional e inercial no son iguales.

[Vijande]

Si hay isotropía no hay flujo de momento en ninguna dirección, por lo que T ha de ser diagonal.

Pues si que era sencillo, si

[Vijande]

Si hay isotropía no hay flujo de momento en ninguna dirección, por lo que T ha de ser diagonal.

Oye, que me acaba de surgir una duda. En ese caso, ¿como es que el tensor para el caso de polvo (materia incoherente no interactuante por ser mas tesnicos) tiene elementos fuera de la diagonal?

[jjo]

Oye, que me acaba de surgir una duda. En ese caso, ¿como es que el tensor para el caso de polvo (materia incoherente no interactuante por ser mas tesnicos) tiene elementos fuera de la diagonal?

Supongo que te refieres al caso general de polvo sin interacciones que no es necesariamente isótropo.

[leach]

Esto vale para cualquier fluido ideal de partículas; sólo a posteriori se puede considerar el caso de que se desplacen a C, en este caso particular se cumple que . Esto último se explica por ejemplo en el Schutz (A first course...).

Bien, he revisado un libro de termodinámica y he comprobado que para un gas de bosones relativistas, se tiene

de manera que tu fórmula es coherente para un gas de bosones.

Más en concreto, si se supone que, en el espacio de momentos, tengo una distribución espacialmente isótropa (para un sistema de referencia), de vectores en el cono de luz, integrando sobre la fórmula



obtengo un tensor de energía-impulso en el que

Pero es importante señalar que este razonamiento sólo vale para sopas de fotones con una cierta cantidad de frecuencias distinguidas, y que por tanto están sujetos a aberración y desvío hacia el rojo.

Por tanto, acepto con humildad la sugerencia de Gravitón, y propondría dos casos de tensor de energía-impulso:

Primero: Un tensor para una sopa de bosones con frecuencias distinguidas, en las cuales: . Este sistema, si no me equivoco, se resuelve exactamente igual que una sopa de materia, simplemente porque hay un sistema de referencia distinguido, y por ello la sopa de bosones actúa como éter. Por lo tanto, en este caso la densidad de energía actúa a todos los efectos como la densidad de masa material, lo que nos permitiría decir que la "masa" de un fotón es su energía dividida por el cuadrado de la velocidad de la luz. Al menos, a efectos gravitatorios.

Segundo: Un tensor para una sopa de partículas sin frecuencias distinguidas, en el cual: . Sorprendentemente, para esta sopa la ecuación de estado es , y el comportamiento es muy semejante al de la polarización del vacío. No hay un sistema de referencia distinguido, así que la sopa no actúa como éter. En este caso no tengo claras las soluciones de las ecuaciones de campo, por causa del fallo de cálculo, pero lo recalcularé en cuanto disponga de tiempo.

De las dos soluciones, la de Gravitón (la primera) me parece la más natural, aunque sea la menos isótropa. De hecho, el fondo de radiación de big-bang, si no me equivoco, es del tipo de Gravitón, y eso dice mucho a favor de su formulación.

Me queda la duda de qué tipo de geometría deriva de un tensor de energía-impulso totalmente isótropo, pero quizás no aporte demasiado a la discusión.

[jjo]

De las dos soluciones, la de Gravitón (la primera) me parece la más natural, aunque sea la menos isótropa. De hecho, el fondo de radiación de big-bang, si no me equivoco, es del tipo de Gravitón, y eso dice mucho a favor de su formulación.

El primero corresponde con el tensor de energía-momento de la radiación electromagnética, cuya traza es cero, y el segundo con el tensor de energía-momento de bosones escalares libres (cosa que se puede comprobar partiendo del Lagrangiano del campo escalar y calculando T con el teorema de Noether). El criterio de "naturalidad" supongo que vale para el primero, ya que no se conocen bosones escalares (por lo menos por el momento).

[Ithaqua]

De las dos soluciones, la de Gravitón (la primera) me parece la más natural, aunque sea la menos isótropa. De hecho, el fondo de radiación de big-bang, si no me equivoco, es del tipo de Gravitón, y eso dice mucho a favor de su formulación.

El primero corresponde con el tensor de energía-momento de la radiación electromagnética, cuya traza es cero, y el segundo con el tensor de energía-momento de bosones escalares libres (cosa que se puede comprobar partiendo del Lagrangiano del campo escalar y calculando T con el teorema de Noether). El criterio de "naturalidad" supongo que vale para el primero, ya que no se conocen bosones escalares (por lo menos por el momento).

ayayayayay, cuando lea esto Vijande le va ha hacer mucha ilusion

[Vijande]

El criterio de "naturalidad" supongo que vale para el primero, ya que no se conocen bosones escalares (por lo menos por el momento).

Lo que me ha dicho . ¿Cuantos quieres, que los mesones escalares los vendo por kilos?. La , la , la , la , la , la , la , etc...... Todos tienen , y son bastante comunes, que la no son mas que dos piones correlacionados en determinada onda parcial.

[Vijande]

Supongo que te refieres al caso general de polvo sin interacciones que no es necesariamente isótropo.

Al de . En Minkowski se tiene que y los elementos fuera de la diagonal son diferentes de cero. ¿Este es no isotropo?

[jjo]

Lo que me ha dicho . ¿Cuantos quieres, que los mesones escalares los vendo por kilos?. La , la , la , la , la , la , la , etc...... Todos tienen , y son bastante comunes, que la no son mas que dos piones correlacionados en determinada onda parcial.

Claro Vijande, tenía puestas las *gafas cosmológicas* y estaba pensando en partículas elementales. Gracias por la extensa corrección...